作业15 数列综合应用-2021年高二数学暑假作业（新人教B版2019）

作业15 数列综合应用 一、单选题 1．在数列 中，若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ，…， 由此可归纳得到 ( ， )， 所以 . 故选： . 2．已知数列 为等差数列， 为前n项和，若 ， ，则 （ ） A．125 B．115 C．105 D．95 【答案】D 【详解】 设数列 的首项为 ，公差为d， 由题得： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 . 3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 设等比数列的公比为 ，则 ， . 故选：C. 4．已知各项均为正数的数列 满足 ， ，则 的前 项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意，正项数列 满足 ，可得 ， 设 ，则 ，解得 或 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 又由 ，所以数列 表示首项为1，公比 的等比数列， 所以 . 故选：B. 5．某人于 年 月 日去银行存款 元，存的是一年定期储蓄， 年 月 日将到期存款的本息一起取出再加 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的 月 日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率 不变，则到 年 月 日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】D 【详解】 设 年存入银行的存款为 元， 年存入银行的存款为 元，以此类推，则 年存入银行的存款为 元，那么 年从银行取出的钱有 元． ， ， ，…， ， EMBED Equation.DSMT4 . 故选：D. 6．已知数列{an}的通项公式 ，前n项和为Sn，若m＞n，则Sm﹣Sn的最大值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】 解：依题意， ， 所以要使 的值最大，则 包含所有的正项， 令 ，得 ， 代入得 . 故选：B． 7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于（ ） A．52 B．54 C．56 D．58 【答案】A 【详解】 ∵a3＋a7＋a11＝12，∴a7＝4， ∴S13＝ ＝13a7＝52. 故选：A． 8．数列{an}的通项公式是an=-n2+4n+21(n∈N*)，这个数列最大的项是（ ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 【答案】B 【详解】 则当 时，数列取得最大项 故选：B 9．已知等差数列 的前n项和为 ，则 的值为（ ） A．33 B．44 C．55 D．66 【答案】C 【详解】 是等差数列 的前 项和， ， ，解得 ， ， 故选：C. 10．疫苗是解决“新冠病毒”的关键，为了早日生产“新冠病毒”疫苗，某研究所计划建设 个实验室，从第 到第 实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第 实验室比第 实验室的建设费用高 万元，第 实验室和第 实验室的建设费用共为 万元，现在总共有建设费用 万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【详解】 设第 实验室的建设费用为 万元，其中 ， 由题意可得 ，解得 ， 则 ， 令 ，即 且 ，解得 . 所以最多可以建设 个实验室. 故选：C. 二、多选题 11．设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 与 均为 的最大值 【答案】BD 【详解】 根据题意，设等差数列 的公差为 ，依次分析选项： 是等差数列，若 ，则 ，故B正确； 又由 得 ，则有 ，故A错误； 而C选项， ，即 ，可得 ， 又由 且 ，则 ，必有 ，显然C选项是错误的. ∵ ， ，∴ 与 均为 的最大值，故D正确； 故选：BD. 12．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则（ ） A．q＝2 B．S9＝29－1 C．数列 的前5项和为 D．6S3＝S9 【答案】ABC 【详解】 设{an}的公比为q，∵9S3＝S6， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴9＝1＋q3，∴q＝2， ，故选项A，B正确． 又6S3＝6×(23－1)≠S9，∴选项D不正确． ∵ 是等比数列，首项 ，公比 ，∴前5项和为 ，则选项C正确． 故选：ABC. 三、解答题 13．已知首项为 的等比数列 的前n项和为 ，且 成等差数列． （1）求数列 的公比q和通项 ； （2）求 ，并求 的最大值． 【详解】 （1）设等比数列 的公比为 ， 由 成等差数列， 得 ,即 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以