作业06 双曲线及其方程-2021年高二数学暑假作业（新人教B版2019）

作业06 双曲线及其方程 一、单选题 1．已知双曲线C与椭圆 有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：因为椭圆的方程为 ，所以椭圆的焦点坐标为 ， 由题意，双曲线C的焦点在 轴上，且 ， 设双曲线C的方程为 ，则有 ， 其渐近线方程为 ，即 ， 又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有 ，所以 ， 所以双曲线C的方程为 ， 故选：A. 2．已知双曲线 ＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（ ） A．16 B．8 C．2 D．1 【答案】C 【详解】 因为双曲线 ＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0， 所以 ，因此该双曲线的虚轴长为 ， 故选：C 3．在双曲线中， ，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 椭圆方程可化为 ， ，所以双曲线的 ，且焦点在 轴上. 由于 ，所以 ，所以 ， 所以双曲线的方程为 . 故选：B 4．设 是双曲线 的右焦点， 是双曲线 的一条渐近线，过 作一条直线垂直与 ，垂足为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题知双曲线 如图做出双曲线 的一条渐近线 ，则 ，即 ，又 ，所以 ， . 故选：B. 5．双曲线 的焦距为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】 由题意 ，所以 ，焦距为 ． 故选：C． 6．双曲线 ( ， )的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意，该双曲线的离心率 ，则 ， 所以该双曲线的渐近线方程为 即 . 故选：A. 7．已知双曲线 ， ， 分別是双曲线 的两个焦点.点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ） A．11 B．3或11 C．13 D．1或13 【答案】D 【详解】 因为 ， 分別是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线 上， 所以 ， 又 ，所以 ，解得 或 . 故选：D. 8．设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点．若 为 右支上的一点，且 为线段 的中点， ， ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可得 ， 由双曲线定义可得 ， 则 ， ． 在 中， ， 又 ， ， 整理可得 ，即 ， 解得 或 （舍去）． 故选：B 9．双曲线 的左右焦点分别为 ，P，Q是该双曲线右支上不同的两点，满足 ，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：依题意画出草图如下所示：设 与双曲线交于 点， 因为 ，由对称性可得 ，因为 所以 ，即 ，由题易知 ，即 所以 故选：D 10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C： 的渐近线l2：y＝﹣ x的倾斜角是渐近线l1：y＝ x的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2 的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（ ） A．x2﹣ ＝1 B．x2﹣ ＝1 C． ﹣y2＝1 D． ﹣y2＝1 【答案】A 【详解】 解：双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线l2： 的倾斜角是渐近线l1： 的倾斜角的2倍， 设渐近线l1的倾斜角为α，则渐近线l2的倾斜角为2α，则α+2α＝π， 所以α＝ ，所以 ， 第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，∠POF＝ ， 点O构成底边长为2 的等腰三角形， 所以|PF|＝2 ，∠OFP＝ ，所以l1⊥PF，所以c＝2，a2+b2＝4，解得a＝1，b＝ ， 所以双曲线方程为：x2﹣ ＝1． 故选：A． 二、多选题 11．设 为双曲线C： 的左、右焦点，过左焦点 且斜率为 的直线l与 在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是（ ） A．直线l倾斜角的余弦值为 B．若 ，则 的离心率 C．若 ，则 的渐近线方程 D． 不可能是等边三角形． 【答案】ABD 【详解】 对于选项A，设直线的倾斜角为α，则 ， ∵ ，∴ 是锐角，则 ， ∴ ，解得 ，故A正确； 对于选项B，由P在第一象限内，且 ，则 ， ∴ ，由余弦定理可得 ， 整理得 ，则 ，解得 或 （舍去），故B正确； 对于选项C，由选项B，可得 ，解得 ， 所以双曲线 的渐近线方程为 ，故C错误； 对于选项D，由 ，可知 不可能是等边三角形，故D正确. 故选：ABD. 12．已知曲线 （ ） A．若 ，则 为椭圆 B．若 ，则 为双曲线 C．若 为椭圆，则其长轴长一定大于 D．若 为焦点在 轴上的双曲线，则其离心率小于 【答案】BCD 【详解】 对于A选项，若 为椭圆，则 ，A不正确； 对于