一次函数的纯数学问题（整合训练）-2021年八年级数学暑假作业（人教版）

一次函数纯数学问题整合训练 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，0）的直线 ：与直线 ： 相交于点B（ ，n）． （1）求直线 的表达式； （2）若直线 与y轴交于点C，过动点P（0，a）且平行于 的直线与线段AC有交点，求a的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【详解】 解：（1）∵B（ ，n）在 上， ∴n=4 ， ∴B（-2，4）， ∵ 图象 经过 A（2，0）和B（ ，4）， ∴ ， 解得 ， ∴这个一次函数表达式为 ， （2）∵直线 ： 与y轴交于C， ∴当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， ∵过动点P（0，a）且直线∥ ， ∴两直线的k相同， ∵直线： 中k=-2 设此直线为 ， 当经过C（0，2）时，a=2， 当经过A（2，0）时，-4+ a =0，a=4， ∴a的取值范围是 ． 2．已知：一次函数的图象经过点A（ ， ）和B（ ， ）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求这个一次函数与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】（1） ；（2）一次函数与x轴交点坐标（ ，0）；一次函数与y轴交点坐标（0， ） 【详解】 （1）设一次函数为 ∵图象经过 A（ ， ）和B（ ， ） ∴ 解得： ∴一次函数表达式为 ； （2）根据（1）的结论，当 时， ∴一次函数与y轴交点坐标（0， ） 当 时， ∴ ∴一次函数与x轴交点坐标（ ，0）． 3．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【详解】 解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为 ； （2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得： ，解得： ， 函数图象如图所示： ∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数 与一次函数 的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述： ． 4．已知y﹣3与2﹣x成正比例，且x＝1时y＝6． （1）试求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝15时，求x的值． 【答案】（1）y＝﹣3x+9；（2）x＝﹣2 【详解】 解：（1）∵y﹣3与2﹣x成正比例， ∴可设y﹣3＝k（2﹣x）， ∵当x＝1时，y＝6， ∴6﹣3＝k（2﹣1），解得k＝3， ∴y﹣3＝﹣3x+6， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣3x+9； （2）当y＝15时，代入函数解析式可得15＝﹣3x+9， 解得x＝﹣2． 5．如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与直线 交于点A， 与y轴交于点B， 与y轴交于点C． （1）当点A在x轴上时，求k的值及A的坐标； （2）横纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 轴围成的区域（不含边界）为W．区域W内整点个数为n，结合函数图象回答： ①在（1）的条件下， ________． ②若 ，直接写出k的取值范围________． 【答案】（1）点 ， ；（2）①2；② 【详解】 解：（1）∵直线 与直线 交于点A，当点A在x轴上时，则点 ， 与y轴交于点B，则点 ， 将点A的坐标代入 得 ， ∴点 ， ； （2）①2；【解法提示】如解图，W区域的整点为点 ､ ， ② ； 6．在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C． （1）求直线n的函数表达式； （2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标； （3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式． 【答案】（1）y＝ x﹣2；（2）C（0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l的解析式为：y＝﹣ x+3或y＝3x﹣7或y＝﹣ x+6或y＝ x+ 【详解】 解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b， ∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2）、点B（3，2）， ∴ ，解得： ， ∴直线n的函数表达式为：y＝ x﹣2； （2）∵△ABC的面积为9， ∴9＝ •AC•3， ∴AC＝6， ∵OA＝2， ∴OC＝6﹣2＝4或OC＝6+2＝8， ∴C（0，4）或（0，﹣8）； （3）分四种情况： ①如图1，当AB＝AC时， ∵A（0，﹣2），B（3，2）， ∴AB＝ ＝5， ∴AC＝5， ∵OA＝2， ∴OC＝3， ∴C（0，3）， 设直线l的解析式为：y＝mx+n， 把B（3，2）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴直