特殊平行四边形的性质与判定（整合训练）-2021年八年级数学暑假作业（人教版）

特殊平行四边形的性质与判定整合训练 1．如图，在 中，过点作 于点 ，点 在边 上， ．连接 ， ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若 ， 平分 ， ，则四边形 的周长是__________． 【答案】（1）见解析；（2）8+4 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB CD，AB=CD， ∵CF=AE， ∴AB-AE=CD-CF， 即BE=FD， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴平行四边形BFDE是矩形； （2）解：∵AB CD， ∴∠BAF=∠DFA， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF=∠DAF， ∴∠DAF=∠DFA， ∴DF=AD=4， 由（1）得：四边形BFDE是矩形， ∴BE=DF=4，DE=BF， ∵∠DAB=60°，∠DEA=90°， ∴∠ADE=30°， ∴AE= AD=2，DE= AE=2 ， ∴四边形BFDE的周长=2（BE+DE）=2（4+2 ）=8+4 ， 故答案为：8+4 ． 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF． （1）求证：AE CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴∠OAE=∠OCF， ∴AE CF； （2）∵OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC= = ， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC= = ． 3．如图，矩形 中， ，把矩形沿对角线 所在直线折叠，使点B落在点E处， 交 于点F，连接 ． （1）证明： ； （2）若矩形 的周长为18，求 的周长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】 （1）证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， 由折叠的性质可得 ， ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ； （2）解：由（1）可知 ， ∴ ， ． ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长是 ． 4．阅读下列材料，并完成相应的任务： 友好矩形 如果一个三角形和一个矩形满足下列条件：三角形的一边与矩形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在矩形与三角形重合的边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图①所示，矩形 即为 的“友好矩形”．我们发现：当 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个． 任务： （1）仿照以上叙述，请你说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； （2）如图②，若 为直角三角形，且 ，在图②中画出 的所有“友好矩形”； （3）若 是锐角三角形，且 ， ， ，在图③中画出 的所有“友好矩形”，指出其中周长最大的矩形并说明理由． 【答案】（1）三角形的一边与平行四边形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在平行四边形与三角形重合的边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；（2）见解析；（3）以 为边的“友好矩形”周长最大，理由见解析 【详解】 解：（1）三角形的一边与平行四边形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在平行四边形与三角形重合的边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”； （2）如解图①所示； 图① （3）如解图②，过点A作 于点D 设 长为x cm，则 长为 ， 在 和 中 ， ， 则 ， 解得： ， ， 则以 为边的“友好矩形”周长为 ， 以 为边的“友好矩形”周长为 ， 以 为边的“友好矩形”周长为 ， ∴以 为边的“友好矩形”周长最大． 图② 5．下面是小溪同学设计的利用直角三角形作矩形的尺规作图过程： 已知：如图①， 是直角三角形， ，O是 的中点． 求作：点D，使得四边形 是矩形． 作法：①作射线 ； ②以点O为圆心， 长为半径画弧交 的延长线于点D； ③连接 ，则四边形 为矩形，点D即为所求． 根据小溪同学设计的尺规作图过程，解决下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：∵ ， ∴四边形 是平行四边形（______________）（填推理依据）． ∵ ， ∴ 是矩形（______________）（填推理依据）； （3）如图②，在矩形 的边 上任取一点E，请在 上各找一点F、G、H，使得四边形 是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，并写出简要作图过程） 【答案】（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角为直角的平行四边形是矩形；（3）见解析 【详解】 解：（1）补全图形如解图①