专题13 计数原理和概率统计-五年（2017-2021）高考数学真题分项详解（新高考地区专用）

专题13 计数原理和概率统计 【2021年】 一、【2021·浙江高考】 已知多项式，则___________，___________. 【答案】 (1). ; (2). . 【解析】 【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论. 【详解】， ， 所以， ， 所以. 故答案为：. 【2021·浙江高考】袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________. 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出． 【详解】，所以， , 所以, 则． 由于 ． 故答案为：1；． 二、【2021·江苏高考】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【知识点】相互独立事件同时发生的概率 【解析】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，，，，， 两点数和为7的所有可能为，，，，，， 甲，乙，丙，丁， A：甲丙甲丙， B：甲丁甲丁， C：乙丙乙丙， D：丙丁丙丁， 故选：B． 分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可． 本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题． 【2021·江苏高考】有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中2，，，c为非零常数，则 A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【知识点】众数、中位数、平均数、方差与标准差 【解析】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误； 对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误； 对于C，标准差， 两组样本数据的样本标准差相同，故C正确； 对于D，2，，，c为非零常数， x的极差为，y的极差为， 两组样本数据的样本极差相同，故D正确． 故选：CD． 利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可． 本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题． 【2021·江苏高考】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． 若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】解：由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100， 则， ， 所以X的分布列为：  X  0  20  100  P       由可知小明先回答A类问题累计得分的期望为， 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， ， ， ， 则Y的期望为， 因为， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． 【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列 【解析】由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列； 由可得，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得，比较与的大小，即可得出结论． 本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题． 【2020年】 一、【2020·北京高考】在的展开式中，的系数为 A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【知识点】二项式定理、二项式定理的应用、二项展开式的特定项与特定项的系数 【解析】 【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得的系数． 【解答】 解：的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得的系数为， 故选：C．