专题11 圆锥曲线-五年（2017-2021）高考数学真题分项详解（新高考地区专用）

专题11 圆锥曲线 【2021年】 一、【2021·浙江高考】已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ） A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得，即， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以或， 其中为双曲线，为直线. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. 【2021·浙江高考】 已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 所以, 由，所以，， 于是，即，所以． 故答案为：；． 【2021·浙江高考】如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）设，，， 所以直线，由题设可得且. 由可得，故， 因为，故，故. 又，由可得， 同理， 由可得， 所以， 整理得到， 故， 令，则且， 故， 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或. 【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题. 二、【2021·江苏高考】已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则的最大值为 A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【知识点】椭圆的性质及几何意义、基本不等式 【解析】解：，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，， 所以，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为9． 故选：C． 利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题． 【2021·江苏高考】已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为______ ． 【答案】 【知识点】抛物线的性质及几何意义 【解析】解：由题意，不妨设P在第一象限，则，，． 所以，所以PQ的方程为：， 时，， ，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为：． 故答案为：． 求出点P的坐标，推出PQ方程，然后求解Q的坐标，利用，求解p，然后求解准线方程． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 【2021·江苏高考】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记M的轨迹为C． 求C的方程； 设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 【答案】解：由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为， 根据题意，解得， 的方程为； 设，直线AB的参数方程为， 将其代入C的方程并整理可得，， 由参数的几何意义可知，，，则， 设直线PQ的参数方程为，，，同理可得，， 依题意，，则， 又，故，则，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0． 【知识点】直线与双曲线的位置关系 【解析】的轨迹C是双曲线的右支，根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可求得C的方程； 设出直线AB的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得，同理求得，再根据，即可得出答案． 本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 【2020年】 一、【2020·北京高考】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则线段FQ的垂直平分线 A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 【答案】B 【知识点】抛物线的性质及几何意义 【解析】【试题解析】 解：不妨设抛物线的方程为，则，准线l为， 不妨设， ， 设准线为l与x