专题09 数列-五年（2017-2021）高考数学真题分项详解（新高考地区专用）

专题09 数列 【2021年】 一、【2021·浙江高考】已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解． 【详解】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当且仅当时取等号， ， 由累乘法可得，当且仅当时取等号， 由裂项求和法得： 所以，即． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得． 【2021·浙江高考】已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论； （2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号. 二、【2021·江苏高考】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______ ；如果对折n次，那么 ______ ． 【答案】5  【知识点】数列求和方法 【解析】解：易知有，，共5种规格； 由题可知，对折k次共有种规格，且面积为，故， 则，记，则， ， ， ． 故答案为：5；． 依题意，对折k次共有种规格，且面积为，则，，然后再转化求解即可． 本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题． 【2021·江苏高考】已知数列满足， 记，写出，，并求数列的通项公式； 求的前20项和． 【答案】解：因为，， 所以，，， 所以，， ， 所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列， 所以． 由可得，， 则，， 当时，也适合上式， 所以，， 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则的前20项和为． 【知识点】数列的递推关系、数列求和方法 【解析】由数列的通项公式可求得，，从而可得求得，，由可得数列是等差数列，从而可求得数列的通项公式； 由数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可． 本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题． 【2020年】 一、【2020·北京高考】在等差数列中，，记2，，则数列 A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】B 【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的性质、数列的函数特征 【解析】 【分析】 本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题． 由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案． 【解答】 解：设等差数列的首项为d，由，，得， ． 由，得，而， 可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值． 可知，，，为最大项， 自起均小于0，且逐渐减小． 数列有最大项，无最小项． 故选：B． 【2020·北京高考】已知是无穷数列．给出两个性质： 对于中任意两项，，在中都存在一项，使得； 对于中任意一项，在中都存在两项，，使得． Ⅰ若2，，判断数列是否满足性质，说明理由； Ⅱ若2，，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由； Ⅲ若是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列． 【答案】解：Ⅰ不满足，理由：，不存在一项使得． Ⅱ数列同时满足性质和性质， 理由：对于任意的i和j，满足，因为，且，所以，则必存在，此时，且满足，性质成立， 对于任意的n，欲满足，满足即可，因为，，且， 所以可表示所有正整数，所以必有一组k，l使，即满足，性质成立． Ⅲ首先，先证明数列恒正或恒负， 反证法：假设这个递增数列先负后正， 那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小， 如仅有一项