专题07 平面向量-五年（2017-2021）高考数学真题分项详解（新高考地区专用）

专题07 平面向量 【2021年】 一、【2021·浙江高考】已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值. 二、【2021·江苏高考】已知O为坐标原点，点，，，，则 A. B. C. D. 【答案】AC 【知识点】向量的数量积 【解析】解：，，，， ，， ，， ，， 则，，则，故A正确； ， ， ，故B错误； ， ， ，故C正确； ， ， ，故D错误． 故选：AC． 由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案． 本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题． 【2020年】 一、【2020·北京高考】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则          ；          ． 【答案】  【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、向量的数量积 【解析】 【分析】 本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题． 根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出． 【解答】 解：由，可得P为BC的中点， 则， ， ， 故答案为；． 二、【2020·浙江高考】已知单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值为          ． 【答案】 【知识点】利用向量的数量积求向量的模、利用向量的数量积求向量的夹角 【解析】 【分析】 本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，属于中档题． 设、的夹角为，由题意求出；再求，的夹角的余弦值的最小值即可． 【解答】 解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足， 所以， 解得； 又，，且，的夹角为， 所以， ， ； 则 ， 所以时，取得最小值为． 故答案为． 三、【2020·天津高考】如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为          ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ． 【答案】  【知识点】平面向量的坐标运算、向量的几何运用、向量的加法、减法、数乘运算、二次函数、向量的数量积 【解析】 【分析】 本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题． 以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】 解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系， ，， ， ， ， ， ， 设， ，， ，解得， ， ，， ， ， ， 设，则，其中， ，， ， 当时取得最小值，最小值为， 故答案为：；． 四、【2020·上海高考】已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且其中，2，，2，，，则k的最大值是          ． 【答案】6 【知识点】向量的几何运用、向量的模 【解析】 【分析】 本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题． 设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值． 【解答】 解：如图，设，， 由，且， 分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中圆的公共点共有6个． 故满足条件的k的最大值为6． 故答案为：6． 【2019年】 一、【2019·北京高考（文）】已知向量，，且，则______． 【答案】8 【知识点】向量垂直的判断与证明、向量的数量积 【解析】 【分析】 本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题． 则，代入，，解方程即可． 【解答】 解：由向量，，且， 得， ． 故答案为8． 二、 【2019·浙江高考】已知正方形ABCD的边长为当每个2，3，4，5，取遍时，的最小值是          ，最大值是          ． 【答案】0   【知识点】利用向量的数量积求向量的模、向量在平面几何中的应用 【解析】 【分析】 本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，难度较大． 由题意可得，，，化简 ，由于2，3，4，5，取遍，由完全平方数的最值，可得所求最值． 【解答】 解：如图， 正方形ABCD的边长为1，可得，，，