专题06 解三角形-五年（2017-2021）高考数学真题分项详解（新高考地区专用）

专题06 解三角形 【2021年】 一、【2021·浙江高考】我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________. 【答案】25 【解析】 【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可. 【详解】由题意可得，大正方形的边长为：， 则其面积为：， 小正方形的面积：， 从而. 故答案为：25. 【2021·浙江高考】在中，，M是的中点，，则___________，___________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得. 【详解】由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； 在中，由余弦定理得. 故答案为：；. 二、【2021·江苏高考】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上，． 证明：； 若，求． 【答案】解：证明：由正弦定理知，， ，， ， ， 即， ． ； 由知， ， ，， 在中，由余弦定理知，， 在中，由余弦定理知，， ， ， 即， 得， ， ， 或， 在中，由余弦定理知，， 当时，舍； 当时，； 综上所述，． 【知识点】余弦定理、正弦定理 【解析】利用正弦定理求解； 要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解． 本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题． 【2020年】 一、【2020·北京高考】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是 A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】解三角形的实际应用、合情推理（归纳、类比推理） 【解析】 【分析】 本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题． 设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值． 【解答】 解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b， 可得， ， 则， 即， 故选：A． 【2020·北京高考（理）】在中，，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： Ⅰ的值； Ⅱ和的面积． 条件：，； 条件：，． 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】解：选择条件， Ⅰ由余弦定理得，即， ， ， ， 即， 联立，解得，， 故． Ⅱ在中，， ， 由正弦定理可得， ， ． 选择条件， Ⅰ在中，，，， ，， ，， 由正弦定理可得， ， ， ，， 故； Ⅱ在中，， ， ． 【知识点】三角形面积公式、两角和与差的三角函数公式、余弦定理、正弦定理 【解析】本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化与化归能力，属于中档题． 选择条件Ⅰ由余弦定理求出，再结合，即可求出a的值， Ⅱ由正弦定理可得sinC，再根据三角形的面积公式即可求出， 选择条件Ⅰ根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得，再结合，即可求出a的值， Ⅱ由两角和的正弦公式求出sinC，再根据三角形的面积公式即可求出． 二、【2020·浙江高考】在锐角中，角的对边分别为已知． 求角B； 求的取值范围． 【答案】解：， ， ， ， ， ， 为锐角三角形，， ， ， 为锐角三角形，，， 解得， ， ， ， 的取值范围为． 【知识点】求正弦型函数的值域或最值、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、利用正弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式 【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，属于较难题． 根据正弦定理可得，结合角的范围，即可求出， 根据两角和与差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出． 三、【2020·天津高考】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，． Ⅰ求角C的大小； Ⅱ求sinA的值； Ⅲ求的值． 【答案】解：Ⅰ由余弦定理以及，，， 则， ， ； Ⅱ由正弦定理，以及，，， 可得； Ⅲ由，及，可得， 则， ， ． 【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题． Ⅰ根据余弦定理即可求出C