第二章 专题探究1 函数最值与值域的求解策略（课件PPT）-2022高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（新高考版 江苏 湖北 湖南 重庆专用）

第二章 函　数 专题探究1　函数最值与值域的求解策略 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） 函数的最值(值域)是高考常考内容，考查方向有利用函数的单调性或奇偶性求函数的最值(值域)，结合图象求函数的最值(或值域)，通过转化形式利用基本不等式求最值等． 一、性质法 利用性质法求函数最值(值域)时，一般先判断函数的单调性，再利用单调性确定函数最值，进而求得值域． 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） 已知函数f(x)＝ eq \f(x＋2,x) ，则函数f(x)在x∈[2，8]上的最大值为________． 2　[任取x1，x2∈(0，＋∞)，且0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x1))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x2))) ＝ eq \f(2,x1) － eq \f(2,x2) ＝ eq \f(2（x2－x1）,x1x2) . 又0<x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在[2，8]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝2.] 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） [点评]　利用函数的单调性求解函数的最值(值域)是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性． 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） 二、图象法 图象法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法． 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） 对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.)) 设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 1　[在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，知h(x)的图象如图所示. 易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.] 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） 三、换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） (1)函数f(x)＝x＋2 eq \r(1－x) 的最大值为________； 2　[设 eq \r(1－x) ＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以f(t)＝1－t2＋2t＝－(t－1)2＋2.当t＝1时，f(t)max＝2，即原函数的最大值为2.] 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） (2)函数y＝x－ eq \r(4－x2) 的值域为________． [－2 eq \r(2) ，2]　[由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y＝2cos θ－ eq \r(4－4cos2θ) ＝2cosθ－2sin θ＝2 eq \r(2) cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))) ， 因为θ＋ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))) ，所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2))) ，所以y∈[－2 eq \r(2) ，2].] [点评]　换元法方式很多，常见的有代数换元和三角换元． 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） 四、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法． 返回导航 第二章 函 数 第1轮　数学（理科） 已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值． 解　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2(t≥2). 因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞). 因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝－ eq \f(b,2a) ＝－ eq \f(－2