第09讲 利用导数研究函数的单调性(考点讲解)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第09讲 利用导数研究函数的单调性 【学习目标】 1、 了解函数的单调性与导数的关系； 2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【备考指南】 导数与函数的单调性是高考中的热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大. 【考点总结】 1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 【考点解析】 【考点】一、不含参数函数的单调性 例1．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B． C．(－∞，－1) D． 解析：选B.由y＝4x2＋，得y′＝8x－， 令y′>0，即8x－>0，解得x>， 所以函数y＝4x2＋的单调递增区间为. 故选B. 例2．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 解析：选D.因为函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)，当f′(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为； 当f′(x)<0时，解得0<x<， 即函数的单调递减区间为，故选D. 例3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． 解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 令f′(x)＝xcos x>0， 则其在区间(－π，π)上的解集为和， 即f(x)的单调递增区间为和. 答案：和 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间． [提醒]　求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．　 【考点】二、含参数函数的单调性 例1、已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a＞0.讨论f(x)的单调性． 【解】　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝a－－＋＝ ＝. (1)当0<a<2时，>1， 当x∈(0，1)或x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)当a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0， f(x)单调递增． (3)当a>2时，0<<1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 综上所述，当0<a<2时，f(x)在(0，1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增； 当a>2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 解决含参数函数的单调性问题应注意的2点 (1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．　 【变式】1、已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)，讨论函数y＝f(x)的单调区间． 解：f′(x)＝－a＝1－－a. ①当a≥1时，f′(x)<0恒成立， 所以当a∈[1，＋∞)时， 函数y＝f(x)在R上单调递减． ②当0<a<1时， 由f′(x)>0，得(1－a)(ex＋1)>1， 即ex>－1＋，解得x>ln ， 由f′(x)<0，得(1－a)(ex＋1)<1， 即ex<－1＋，解得x<ln . 所以当a∈(0，1)时， 函数y＝f(x)在上单调递增， 在上单调递减． 综上，当a∈[1，＋∞)时，f(x)在R上单调递减； 当a∈(0，1)时，f(x)在上单调递增， 在上单调递减． 【考点】三、函数单调性的应用 角度一　比较大小或解不等式 例1、 (1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) (2)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sin x<f(x)cos x，则(　　) A.f>f B．f>f(1) C.f<f D．f<f 【解析】　(1)由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞