专题05 二次函数的简单应用-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题05 二次函数的简单应用 课程要求 《初中课程要求》 初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容。 《高中课程要求》 二次函数也是高考必考内容，高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要。 热身练习 一、填空题 1．（2020·福建厦门市·厦门一中高一开学考试）平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则________. 【答案】 【分析】将点代入，得，再代入 ，利用非负数的性质，求出、用表示，再代入 解方程即可解决问题. 【详解】将点代入得：①， 将代入得： ，所以， 将代入得：，即， 解得：或（舍） 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，属于中考填空题中的压轴题. 2．（2020·浙江高一开学考试）设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是____． 【答案】0 【分析】先由2x+y＝6，得y＝6﹣2x，再代入μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y，即可得关于x的二次函数，然后利用配方法将二次函数变形，根据二次函数的性质，结合x的范围即可求出最小值． 【详解】由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0， 解得：0≤x≤3． ∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y ＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x） ＝x2﹣11x+24 ＝﹣， ∴当x≤ 时，y随x的增大而减小， 故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握配方法并将待求式进行变形转化为二次函数求解是解题的关键． 3．（2020·浙江高一开学考试）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+a2﹣1，当x≥a时，y随x的增大而增大．若点A（1，c）在该二次函数的图象上，则c的最小值为_____． 【答案】-3 【分析】把二次函数y＝ax2﹣4ax+a2﹣1，化成顶点式，求得对称轴，根据二次函数的增减性，结合条件“当x≥a时，y随x的增大而增大．”求得a的取值范围，再把A（1，c）代入二次函数y＝ax2﹣4ax+a2﹣1，得c关于a的二次函数，再根据二次函数的性质求得c的最小值便可． 【详解】 ∵y＝ax2﹣4ax+a2﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a+a2﹣1， ∴对称轴为x＝2， ∵当x≥a时，y随x的增大而增大． ∴a≥2， ∵点A（1，c）在该二次函数的图象上， ∴c＝a﹣4a+a2﹣1＝a2﹣3a﹣1＝（a﹣）2﹣， ∴当a＞时，c随a的增大而增大， ∵a≥2， ∴当a＝2时，c的值最小为：c＝4﹣3×2﹣1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数的最值，二次函数的增减性的应用，解答本题的关键是根据二次函数的性质求出a的取值范围． 二、解答题 4．（2020·四川自贡市旭川中学高一开学考试）已知当时，函数的最大值为5，求实数的值. 【答案】或. 【分析】讨论抛物线开口方向，根据函数的最大值得到关于的方程，即可得答案； 【详解】， 其图象的对称轴方程为，顶点坐标为， 图象开口方向由决定. 若，函数图象开口向下，如图所示， 当时，函数取得最大值，即， 解得或（舍去）.故. 若，函数图象开口向上，如图所示， ∵，∴当时，函数取得最大值，即， 解得或（舍去），故. 综上，或. 【点睛】本题考查抛物线的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图形的直观性. 知识精讲 1、 平移变换 在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 2、 对称变换 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． 3、 分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 四、二次函数的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设，求在上的最大值与最小值． 分析：将配方，得对