专题04 二次函数的三种表示方式-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题04 二次函数的三种表示方式 课程要求 《初中课程要求》 二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式. 《高中课程要求》 高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法. 热身练习 1．（2020·安徽省舒城中学高一开学考试）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出A、B点的坐标，待定系数法求直线AB的方程；（2）求出点M、N的坐标，两点的纵坐标的差即为所求. 【详解】（1）当时，，， 当时，，， 设直线AB的解析式为，则，解得， 直线AB的解析式为. （2）当时，，， 当时，，， . 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的图象与性质，属于基础题. 2．（2020·四川省绵阳南山中学高一开学考试）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧.点的坐标为，. （1）求抛物线的解析式； （2）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若点在轴上，点在抛物线上.是否存在以、、、为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，. 【分析】（1）将两点坐标代入抛物线方程即可求出解析式； （2）过点作轴分别交线段和轴于点，，则 ，根据的取值可求出最大值； （3）分两种情况，①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，分别求出P的坐标即可. 【详解】（1）∵点，，， 把，代入得： ，解得：，， ∴所求抛物线的解析式为. （2）过点作轴分别交线段和轴于点、. ∵对称轴，，∵点， ∴， 易得直线的解析式为， 令，，其中， . 当时，有最大值3， 此时四边形面积有最大值. （3）如图，有如下情况： ①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点， 此时四边形为平行四边形，∵， 令得：，， ∴点. ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点， 当时，四边形为平行四边形， ∵，∴由对称关系令，由 化简得：，解得或， 此时存在点和. 综上，存在3个点符合题意，坐标分别是，，. 【点睛】本题考查二次函数与几何结合的综合问题，属于中档题. 3．（2020·浙江高一开学考试）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于点A （0，﹣4），与x轴交于点B（﹣2，0），C（8，0），连接AB，AC． （1）求出二次函数表达式； （2）若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AB，交AC于点M，连接AN，当以点A，M，N为顶点的三角形与以点A，B，O为顶点的三角形相似时，求此时点N的坐标； （3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标． 【答案】（1）y＝；（2）（3，0）或（0，0）；（3）N点坐标为（﹣8，0）或（8﹣4，0）或（8+4，0）或（3，0）． 【分析】（1）用待定系数法解答便可； （2）设点N的坐标为（n，0），分两种情况：当∠NAM＝∠BAO时，△AMN∽△AOB；当∠ANM＝∠BAO时，△NMA∽△AOB．分别解答便可； （3）分三种情况：AN＝CN；AC＝AN；AC＝CN．分别写出N点坐标便可． 【详解】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与与x轴交于点B（﹣2，0），C（8，0）， ∴y＝a（x+2）（x﹣8）， 把A（0，﹣4）代入，得a（0+2）（0﹣8）＝﹣4， 解得，a＝， ∴二次函数表达式是y＝（x+2）（x﹣8）， 即y＝； （2）∵AB2＝BO2+AO2＝20，AC2＝AO2+OC2＝80，BC2＝（BO+OC）2＝100， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵NM∥AB， ∴∠AOB＝∠BAC＝∠NMA＝90°， 设点N的坐标为（n，0）， 分两种情况： ①当∠NAM＝∠BAO时，△AMN∽△AOB， ∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠OCA＝90°， ∴∠BAO＝∠OCA， ∴∠NAM＝∠OCA，