专题03 二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图像和性质-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题03 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 课程要求 《初中课程要求》 确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题. 二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式. 《高中课程要求》 高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法. 二次函数在高中数学中占有十分重要的地位，内容相比初中更为具体，解题思路更为抽象，更着重于与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，同时它也是高一第一学期集合部分内容的一个解决问题的主要思路，因此，拓展学习二次函数是初高衔接一个必不可少的部分． 热身练习 一、单选题 1．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）抛物线图象向右平移3个单位再向下平移4个单位，所得图象的解析式为，则、的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】把新函数图象反过来变换各原函数图象，从而可得结论． 【详解】函数的图象向左平移3个单位再向上平移4个单位所得图象的解析式为，∴，∴． 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象平移变换，掌握平移变换规则是解题关键． 2．（2019·怀仁县大地学校高一月考）函数与在同一直角坐标系中图象可能是图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图象和二次函数的图象判断的符号，确定是否能取相同的值即可． 【详解】A、二次函数图象可得二次项次数，与轴相交于正半轴，则常数项，则； 根据反比例函数图象，,故选项正确； B、二次函数图象可得二次项次数，与轴相交于正半轴，则常数项，则；故选项错误； C、二次函数图象可得二次项次数，与轴相交于负半轴，则常数项，则；故选项错误； D、二次函数图象可得二次项次数，与轴相交于负半轴，则常数项，则；故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质，根据图象确定的符号是解题的关键． 3．（2020·榆林市第一中学高一月考）在平面直角坐标系中，将抛物线向上下或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据函数的解析式画出函数的图象即可得到答案. 【详解】当时，，所以函数图象与轴的交点为， 当时，或，所以函数图象与轴的交点为，. 如图所示： 由图知：函数图象至少向右平移一个单位恰好过原点，故的最小值为. 故选：A 【点睛】本题主要考查二次函数的图像，根据题意画出二次函数的图像为解题关键，属于简单题. 4．（2020·福建厦门市·厦门一中高一开学考试）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③；④（m为实数）.其中结论正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项. 【详解】由图象得：图像的开口向上，所以， 图象的对称轴在y轴的右侧，所以， 又图象与y轴的交点在负半轴，所以， 所以，故①错误； 从图象观察得，当时，，所以， 又，所以，代入得， 所以成立，故②正确； 当时，，所以，即， 又，所以，故③正确； 对称轴是，当时，有最小值， 所以，所以，故④正确， 综上得结论正确的是②③④， 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题. 知识精讲 1、 二次函数图像的伸缩变换 问题 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2