4.3等比数列-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第二册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第二册） 第四章 数列 4.3等比数列 一、单选题 1．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为（ ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－1 【答案】C 【解析】当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意； 当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2. 故选：C 2．设数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，令，得，所以． 由得，两式相减得， 即，又，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：A． 3．设等比数列的前项和为，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则， . 故选：C. 4．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是等比数列，公比为，由，得， 又，所以，，所以，由解得， 所以，，， 所以． 故选：C． 5．已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】因为不全相等的实数，，成等比数列， 所以该等比数列的公比，显然有，， A：若，，成等差数列，显然成立，即， 化简为，解得，或（舍去），所以假设成立，故，，有可能是等差数列； B：若，，成等差数列，显然成立，即， 化简为：，解得：，显然或，所以假设成立，故，，有可能成等差数列； C：若，，成等差数列，显然，即， 化简为：，解得，因为，所以，因此假设成立， 故，，有可能 成等差数列； D：若，，成等差数列，显然，即， 化简为：，解得，而，因此假设不成立，故，，一定不可能成等差数列， 故选：D 6．已知各项均为正数的数列满足，，则的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，正项数列满足，可得， 设，则，解得或， 因为，所以，所以， 又由，所以数列表示首项为1，公比的等比数列， 所以. 故选：B. 二、填空题 7．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为__________． 【答案】 【解析】设第七天走的路程为，则第六天的行程为， 第五天的行程为，依次计算， 那么七天总共走的路程为. 故答案为：. 8．在等比数列{an}中，若a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是________． 【答案】±4 【解析】因为a6是a4与a8的等比中项，a6＝a1q6－1＝4，所以a4与a8的等比中项是±4. 故答案为：±4 9．已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________. 【答案】 【解析】因为，，(且)，① 当时，，即， 由等比数列的的公比为， 即，解得， 所以， 当时，，即， 解得， 又(，且)，② ①-②可得，， 即，化为， 又， 所以为等差数列，且公差， 则， 所以 ， ， 上面两式相减可得 ， 所以. 故答案为：. 三、解答题 10．已知数列，满足，，，． （1）证明：为常数数列，且． （2）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】证明：（1）因为， 所以数列为常数数列， 因为，，且，所以， 故，． 易知，则（当且仅当时取等号）． 因为，所以． 因为，所以． （2）由，得， 因为，所以， 则， 所以，即， 所以． 当时，； 当时，， 故． 11．已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列． （1）求数列的公比q和通项； （2）求，并求的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）设等比数列的公比为， 由成等差数列， 得,即，所以，即， 因为，所以 （2）由（1）得， 所以， 所以 因为，且递增， 所以递减， 当时，， , 即的最大值为. 12．已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以 S3 + 2S2 =4S4 – S3，即，于是，又=， 所以等比数列的通项公式为=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得， 所以， 当n为奇数时，随n的增大而减小，所以=； 当n为偶数时，随n的增大而增大，所以=， 故对于，有, 即的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第二册） 第四章 数列 4.3等比数列 一、单选题 1．若首项为1的等比数列{an}的前