专题02 一元二次方程与韦达定理-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题02 一元二次方程与韦达定理 课程要求 《初中课程要求》 1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础. 2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分. 4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程. 《高中课程要求》 韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理． 韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 热身练习 一、单选题 1．（2020·上海高一开学考试）已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【分析】由是方程的根，可得，再利用完全平方公式计算可得； 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∴， ∴. 故选：B. 【点睛】本题方程的解以及完全平方公式的应用，属于基础题. 2．（2020·上海高一开学考试）关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得且，解不等式即可得答案. 【详解】解：因为关于的方程有两个不等的实根 且，即：且， 解得且. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次方程的实数根问题，是基础题. 3．（2020·上海高一开学考试）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】设另一根为t，结合韦达定理即可求解 【详解】设方程的另一个根为t， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题 二、填空题 4．（2020·上海交大附中高一开学考试）方程的解为____________. 【答案】或 【分析】令换元转化为一元二次方程求解． 【详解】令，则，原方程可变为：，即， ，，， 时，，，，无实数解 时，，，解得，． 故答案为：或 【点睛】本题考查用换元法解方程，对较为复杂的方程（高次的或分式等方程）可用换元法进行转化，化为低次方程，整式方程求解． 5．（2020·上海高一开学考试）若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为__________． 【答案】3 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根则，列出方程化简可得k2+2k，所求等式展开配凑即可得解. 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根， ∴＝（﹣2k）2﹣4（1﹣4k）＝0， 整理得，2k2+4k﹣1＝0，即k2+2k， ∴ 故答案为：3 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，属于基础题. 知识精讲 根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 ．① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 根