3.3抛物线-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第一册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第一册） 第三章 圆锥曲线的方程 3.3抛物线 一、单选题 1．已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是抛物线的焦点， 所以，准线方程， 设， 所以， 所以， 所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 故选：C． 2．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为. 故选：C. 3．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设M(x，y)，以MA为直径的圆的圆心为， 又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有， 整理得：y2＝4x， 则M的轨迹是抛物线，其焦点为A(1，0)，准线l为x＝-1， 如图，过M作MD⊥l于D，|MA|=|MD|， |MA|+|MB|=|MD|+|MB|≥|BD|，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”， |MA|+|MB|取得最小值为|BD|＝2-(-1)＝3． 故选：C 4．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线得准线方程为y＝﹣，因此双曲线的一个焦点为，∴c＝． 双曲线化为，∴a＝1，∴双曲线的离心率＝． 故选：C． 5．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ） A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3，0) D．(－2，0) 【答案】A 【解析】因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得 x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3. 故选：A 6．若抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为（ ） A．6 B．8 C．1或9 D．10 【答案】C 【解析】设所求点的坐标为， 由题意可得，，则，解得或， 所以或. 故选：C. 二、填空题 7．抛物线上的一点到其焦点的距离___________. 【答案】 【解析】将点的坐标代入抛物线方程得，所以抛物线的标准方程为， 抛物线的准线方程为，因此，. 故答案为：. 8．已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为.若，则______. 【答案】4 【解析】设过点作斜率为的直线方程为：， 联立方程，消去可得：， 设，，∴， 设，， 则，同理， 设所在的直线方程为， 联立方程，消去得：， ∴，同理可得， 则. 故答案为：4. 9．已知抛物线，圆与轴相切，斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点(，两点在轴的同一侧)，若，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】由圆的方程可知，其圆心坐标为，当圆与轴相切可知，得， 所以抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为， 设斜率为的直线方程为，设，直线与抛物线联立， ，得， 所以①，② 所以，， 而，则有，， 所以③，由①，③解得， 代入②有，变形得， 因为，所以， 所以，变形得， 解得. 故答案为：. 三、解答题 10．已知抛物线，其焦点为F，抛物线上有相异两点，． （1）若轴，且经过点A的抛物线的切线经过点，求抛物线方程； （2）若，且，线段AB的中垂线交x轴于点C，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）抛物线，焦点坐标为，因为，所以，所以，又，所以，所以过A点的切线的斜率，所以切线方程为，令得，所以，所以 （2）若，则抛物线为，焦点为，准线方程为，因为，所以，所以，设直线的方程为，联立得， 所以，， 所以，即， 所以，解得， 当时，直线方程为，则，，所以的中垂线恰为轴，则，所以， 当，且时， 又的中点坐标为，所以的中垂线的方程为，令得，所以，所以到的距离，又， 所以 令，则，，因为，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以 所以 所以 11．已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称． （1）求抛物线的方程； （2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）；（2）存在；定点坐标为． 【解析】（1）解：将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以