3.2双曲线-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第一册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第一册） 第三章 圆锥曲线的方程 3.2双曲线 一、单选题 1．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得：设所求双曲线为， 把点，解得， 所求的双曲线方程为，即． 故选：A． 2．“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示双曲线，则； 若方程表示椭圆，则，且； 则，且；，且； “方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知双曲线的离心率为，则点到双曲线C的渐近线的距离为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题离心率，即， 又，则，即， 则渐近线方程为， 则点到双曲线C的渐近线的距离为. 故选：C. 4．若双曲线上存在四个点A，B，C，D满足四边形是正方形，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由题知：，解得：， 因为四边形是正方形，所以，解得. 又因为，所以，解得， 所以. 故选：D 5．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为， 由题意，双曲线C的焦点在轴上，且， 设双曲线C的方程为，则有， 其渐近线方程为，即， 又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以， 所以双曲线C的方程为， 故选：A. 6．设，分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 由双曲线定义可得， 则，． 在中，， 又，， 整理可得，即， 解得或（舍去）． 故选：B 二、填空题 7．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________． 【答案】 【解析】由题离心率，即， 又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 8．已知双曲线，点在直线，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】 【解析】因为点在直线上，则有，即，则离心率为. 故答案为：. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】如图： 由的周长为4，所以的周长为8，AB是双曲线的通径， 设，代入双曲线方程得，所以，， ，， 可得，可得，， 则， 令，，因为，所以，所以 在是减函数， . 故答案为：. 三、解答题 10．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形. （1）求双曲线的离心率； （2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）2；（2）以为直径的圆过定点，. 【解析】（1）由轴时， 为等腰直角三角形，可得，所以， 即，故，结合，解得. 故双曲线的离心率为2. （2）因为，所以双曲线， 显然直线l的斜率不为0，设直线，，， 联立直线与双曲线的方程得，化简得， 根据根与系数的关系，得，① 所以，② ，③ 设直线，直线， 令，可得， 设是以为直径的圆上的任意一点，则， 则以为直径的圆的方程为， 由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得， 即， 将①②③代入，可得，即， 解得或， 所以以为直径的圆过定点，. 11．双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线的一条准线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】∵椭圆的焦点为， ∴ ∵一条准线方程为，，解得，∴， ∴双曲线的方程为． （2）设弦的两端分别为，．则有： ． ∵弦中点为，∴． 故直线的斜率． 则所求直线方程为：． 12．双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，. （1）求双曲线的离心率； （2）若在第一象限，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见详解. 【解析】（1）当时，点在第一象限或第四象限， 由对称性，不妨设点在第一象限， ，， 在双曲线上，则有 ，又， 消去可得， 即，变形， 即，因为，解得. （2）证明：，即， 双曲线，化为， 设，（）， ①当，由题意可知，此角不存在正切值； ②当与不垂直时，设, 则，， ， ， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 【优质课堂】2021-