专题01 数与式-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题01 数与式 课程要求 《初中课程要求》 在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算． 《高中课程要求》 由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等． 热身练习 一、单选题 1．（2020·上海高一开学考试）下列分解因式错误的是（ ） A．a-5a+6=(a-2)(a-3) B．1-4m+4m=(1-2m) C．-4x+y=-(2x+y)(2x-y) D．3ab+ab+9=(3+ab) 【答案】B 【分析】根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误. 【详解】A选项根据十字相乘分解因式可知正确； B选项中的1+4m-4m=(1-2m)，左右两边不相等，所以B是错的； C选项根据平方差公式可知正确； D选项根据完全平方公式可知正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题. 2．（2020·上海高一开学考试）实数､在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴判断出对的正负关系以及绝对值的大小，即可求解，得到答案. 【详解】由图可知，实数，且， 所以，，，， 故关系式不成立的是选项. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，以及绝对值的大小比较，着重考查分析问题和解答问题的能力. 3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知均为正整数，且满足，则（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据表达式进行转化． 【详解】 ， ∴，∴． 故选：D． 【点睛】本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础． 二、填空题 4．（2020·上海高一开学考试）分解因式：__________. 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式 【详解】解：= 故答案为： 【点睛】此题考查公式法分解因式，属于基础题. 5．（2020·上海高一开学考试）分解因式： _________. 【答案】 【分析】前三项用十字相乘法分解因式，后两项提公因数，在对其提公因式得答案. 【详解】利用分组分解法（前三项与后两组） 故答案为： 【点睛】本题主要考查十字相乘法的应用，属于中档题. 6．（2020·上海高一开学考试）已知，求=_______. 【答案】１ 【分析】将式子三个一分组，每组都有因式x2+x+1，求得答案. 【详解】由，则 . 故答案为：１. 【点睛】本题考查了多项式化简求值，整体代入法，属于基础题. 三、解答题 7．（2020·上海高一开学考试）已知，求的值. 【答案】. 【分析】先求出，再化简原式为，即得解. 【详解】. 由题得原式= . 故答案为：21 【点睛】本题主要考查因式分解、配方和求代数式的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 知识精讲 一、绝对值 1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 二、乘法公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ； （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ． 引申：次方差公式； 根据以上规律，可以归纳出乘法公式： （为非零自然数） 将等号左右两边倒一下得： （为非零自然数） 这个公式称为次方差公式； 由这个公式易得； 定理：若为正偶数，则与同时成立； 三、二次根式 1、分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程． 2、二次根式的意义 四、分式 1、分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质． 2、繁分