第8讲 平均值不等式及其应用（巩固基础+能力提升练习）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第8讲 平均值不等式及其应用 (巩固基础+能力提升练习） 【巩固基础】 一、单选题 1．（2020·黑龙江双鸭山一中高一月考）已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求的最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由已知得：，且， ∴当且仅当时等号成立. 故选：B. 2．（2020·峨山彝族自治县第一中学高一期中）已知实数， 满足，其中，则的最小值为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】由已知可知，为正实数，满足，则与相乘凑乘积为定值． 【详解】由已知，，所以， ， 当且仅当，时取到等号． 故选:D． 【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于简单题． 3．（2020·广东揭阳市·揭阳三中高一期中）的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】由基本不等式运算即可得解. 【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是4. 故选：C. 4．（2020·利辛县阚疃金石中学高一期中）如果，那么的最小值是（ ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，即最小值为4， 故选：D 5．（2020·台山市华侨中学高一月考）若正实数、满足，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用基本不等式化为即可． 【详解】当，为正实数时，由， ，当且仅当等号成立， 的最大值为1． 故选: A． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”缺一不可，属于基础题． 6．（2020·全国高一）已知，且，那么下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式与重要不等式即可求解. 【详解】解:因为， 且, 所以 . 当且仅当时取等号， 故选: C. 【点睛】本题主要考查基本不等式，注意运用基本不等式时需验证等号成立的条件. 7．（2020·全国高一课时练习）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果． 【详解】因为 所以，； 由基本不等式可得； 所以. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基础题. 二、填空题 8．（2020·全国高一单元测试）已知，，，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】把代入，再用基本不等式即可. 【详解】，，，， 当且仅当时取等. 故答案为：4 【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查“1”的妙用，属于基础题型. 9．（2020·全国高一课时练习）如果一个直角三角形的斜边长等于，那么这个直角三角形的面积的最大值等于______. 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理可得出，然后利用重要不等式可求出该直角三角形面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得， 由重要不等式可知， 因此，该直角三角形的面积为. 当且仅当时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用重要不等式求最值，要根据题意得出定值条件，结合重要不等式的变形进行求解，考查计算能力，属于基础题. 10．（2020·全国高一课时练习）已知一次函数图象与轴、轴分别交于点、，点在线段上，轴于点，轴于点，则矩形面积的最大值是_____________ ； 【答案】 【分析】设出P点坐标，P点在直线上即和为定值，积有最大值． 【详解】设点，由题意，且，即， 则矩形面积，当即时，取“=”． 【点睛】和为定值，积有最大值．注意：“一正二定三相等”缺一不可． 11．（2020·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ； 【答案】20吨 【分析】依题意写出表达式，均值不等式求最小值． 【详解】由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨． 【点睛】实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件． 三、解答题 12．（2020·镇雄县第四中学高一月考）用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 【答案】矩形的一边长为时，面积最大. 【分析】设该矩形的长､宽分别为，，由题中条件，得到，利用基本不等式，即可求出面积的最大值. 【详解】设该矩形的长､宽分别为，，则， 故该矩形的面积为， 当且仅当时，