第十六讲 垂径定理-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（浙教版）

第十六讲 垂径定理 3.3垂径定理 【学习目标】 1.掌握垂径定理及其推论； 2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明. 【基础知识】 一、垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图，几何语言为： CD是直径 要点： 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【考点剖析】 例1．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为5，则OC＝（ ） A． B．4 C．3 D． 例2．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 例3．下列说法错误的是( ) A．垂直于弦的直径平分弦 B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 例4．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 A． B． C． D． 例5．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A．50m B．40m C．30m D．25m 例6．如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为 （ ） A． B．2 C． D． 例7．如图，在平面直角坐标系中， 的圆心是 ，半径为3，函数 的图象被 截得的弦 的长为 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 例8．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 例9．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是 A．当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B．当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP=30° D．当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 例10．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度数为（ ）． A．30° B．40° C．50° D．60° 例11．如图，在半径为3的 中， 是劣弧 的中点，连接 并延长到 .使 ，连接 、 、 ，如果 ，那么 等于（ ） A．2 B．1 C． D． 例12．如图，在半圆 中，直径 ， 是半圆上一点，将弧 沿弦 折叠交 于 ，点 是弧 的中点．连接 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【过关检测】 一、单选题 1．如图所示，如果AB为⊙O的直径，弦 ，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 2．如图， 是 的直径，弦 于点E， ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，则水的最大深度为（ ） A．8cm B．10cm C．14cm D．16cm 4．CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ） A．AC的长为 B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10 5．如图，在 中，弦 ， ， ， ， ，则 的半径为（ ） A．4 B． C． D． 6．如图，AB为⊙O的直径，弦 于点F， 于点E，若 ， ，则CD的长度是（ ） A．9.6 B． C． D．19 7．如图，已知 的半径为5，弦 为 上的动点（不与端点 重合），若线段 的长为正整数，则满足条件的点P的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 8．如图， 都是 的弦，