第02讲 集合间的基本关系（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系 【学习目标】 1.理解集合之间的包含与相等的含义． 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系． 3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用． 【知识结构】 【考点总结】 一、子集 定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集． 记法与读法：记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)． 或 结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA． (2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC． 【注】对子集的理解　 (1)“AB”的含义：若xA就能推出xB． (2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA． (3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N． 二、集合相等 如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示． 【注】对集合相等的理解 (1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据； (2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等； (3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在； 三、真子集 定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集． 记法：记作AB(或BA)． 结论：(1)AB且BC，则AC； (2)AB且A≠B，则AB． 四、空集 定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集． 记法： 规定：空集是任何集合的子集，即A 特性：(1)空集只有一个子集，即它本身， (2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A 【例题讲解】 题型一　集合关系的判断 例1、指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解析　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM. 规律方法　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 【训练1】　(1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是(　　) A．A⊆B　　　 B．A＝B C．AB　　 D．BA (2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0<x<1}，则(　　) A．A＝B　　　 B．AB C．BA　　 D．A⊆B 解析　(1)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴BA. (2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知BA. 答案　(1)D　(2)C 题型二　子集、真子集个数问题 例2、(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个． (2)写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P. (1)解析　集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个． 答案　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7 (2)解　由题意知，集合P中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}． 规律方法　1.假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数有2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个； (3)A的真子集的个数有2n－1个； (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 2．求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身． 【训