第01讲 集合的概念（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念 【学习目标】 1.通过实例了解集合的含义． 2.掌握集合中元素的三个特性． 3.体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用． 4.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法． 5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 【知识结构】 【考点总结】 一、集合的概念 1．元素与集合的概念 (1)元素：我们把研究对象统称为元素． 表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示 (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)． 表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 2．集合中元素的特性 二、元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 【注】对∈和∉的理解 (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 2．集合的分类及常用数集 (1)分类 (2)常用的数集： 数集 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R (3)常用数集关系网 实数集R 三、集合的表示法 1、列举法 定义：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．{a1，a2，a3，…，an} 用列举法表示集合应注意的问题　 (1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}； (2)元素间用“，”分隔开；元素不能重复，不考虑顺序； (3)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}； (4)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}． 2、描述法 如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质． 定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法． 3、Venn图 在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 【例题讲解】 题型一　集合的判定问题 例1、下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)的近似值的全体． 解　(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合． 规律方法　判断一组对象能否构成集合的依据 【训练1】　给出下列说法： ①中国所有的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合； ④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________(填序号)． 解析　②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误． 答案　①③ 【例题解析】 题型二　元素与集合的关系 例2、(1)给出下列关系：①∈R；②∉Q；③|－3|∉N；④|－|∈Q；⑤0∉N.其中正确的个数为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　 D．4 (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 解析　(1)①②正确；③④⑤不正确． (2)∵∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2. 答案　(1)B　(2)0,1,2 规律方法　判断元素与集合关系的两个关键点 判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征． 【训练2】设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　) A．a∈M　　　 B．a∉M C．a＝M　　 D．a≠M 解析　判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a∉M. 答案　B 题型三　集合中元素的特性 例3、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，