第8讲 平均值不等式及其应用（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第8讲 平均值不等式及其应用 【知识梳理】 一、平均值不等式： 变式： 推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数， 它们的关系是：，当且仅当时等号成立。 【例题解析】 知识点一：简单基本不等式问题 例1．已知正数满足，求的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。 的最小值为 【难度】★ 【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件， 当时，即，取得最小值。 例2．设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A． a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 【难度】★★ 【答案】D， A,B显然满足，而C中， 知识点二：不等式的最值问题 例1．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3，则的取值范围是 . 【难度】★★【答案】 ， 例2.设a>b>0，求的最小值。 【难度】★★ 【答案】 ，此时等号成立条件是即a=2b 所以等号成立条件是，即a=4，此时b=2 例3.x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 【难度】★ 【解析】 x>-1 == 当且仅当x=0时取最小值1。 例4非零实数、、满足，则的最小值是________。 【难度】★★ 【解析】1的妙用，可以从局部和整体妙用1，这也是针对于这类问题的基本思路。答案是9 例5.已知？ 【难度】★★ 【解析】 例6.函数最大值与最小值分别为 。 【难度】★★ 【解析】 例7. 【难度】★★ 一正二定三相等再次忽略。 ， 例8.设都是正数，且使，求实数的最大值。 【难度】★★ 【解析】k最大值为√2，方法一，两边同时平方，不要忘记K大于0.方法二，参变分离，利用平方均值。 知识点三：基本不等式的应用 例1．某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【难度】★★ 【答案】由题意得 xy+x2=8,∴y==(0<x<4). 于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+≥4. 当(+)x=,即x=8－4时等号成立. 此时, x≈2.343,y=2≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省. 【反思总结】 1、在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意： （1）x,y都是正数； （2）积xy（或x+y）为定值； （3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论. 2、能充分抓住不等式的恒等变形，并能拆分题目中给的不等式里的各项。 3、能够拆分题目中的多元不等式为多个不等式来简化证明求解的复杂性。 【过关检测】 一、填空题 1．（2020·上海高一专题练习）设，，，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号) ①；②；③． 【答案】①③ 【分析】利用不等式性质可判断①；将平方展开再结合已知条件和①可判断②；将 两边平方再展开结合①可判断③，进而可得正确答案. 【详解】 对于①：，所以，当且仅当时等号成立，故①正确； 对于②：，所以，当且仅当时等号成立，故②不正确； 对于③：，所以，当且仅当时等号成立，故③正确； 故答案为：①③. 2．（2016·上海市控江中学）设，则的值域为_________ 【答案】 【分析】先将原式化为，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果. 【详解】因为，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的值域为：； 故答案为 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 3．（2016·上海市控江中学）设，则的最大值为______ 【答案】 【分析】先由题意求出，再由基本不等式，得到，即可得出结果. 【详解】由得；又，所以 再由， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 4．（2020·上海高一专题练习）直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为__________ 【答案】 【分析】设直角三角形两条直角边为，则有 ，再利用基本不等式有，可求解. 【详解】设直角三角形两条直角边为，斜边为，所以 ，且， 所以，当且仅当时，取等号. 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号. 所以三角形面积的最大值为. 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三