三角恒等变换‘修炼手册’-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■周腊生 解三角函数问题离不开三角恒等变换, 而三角恒等变换本身也是高考的重要考点, 那么三角恒等变换有哪些必须掌握的基本技 巧呢? 请看三角恒等变换“修炼手册”。 一、切弦互化 例1 若tanα- 1 tanα= 3 2 ,α∈ π4 ,π 2( ), 则sin2α+ π 4( ) 的值为 。 解:由tanα- 1 tanα= 3 2 ,可得sinα cosα- cosα sinα= 3 2 ,所以cos2α sin2α=- 3 4 。 由 π 4<α< π 2 ,可得π 2<2α<π ,所以 cos2α=- 3 5 ,sin2α= 4 5 。故sin2α+ π 4( )= sin2αcos π 4+cos2αsin π 4= 2 10 。 评析:利用同角三角函数基本关系式 sinα cosα=tanα ,可实现切弦互化,从而求得三 角函数的值。 二、降幂转化 例2 已 知cos π4+θ( )cos π 4-θ( )= 1 4 ,则sin4θ+cos4θ的值为 。 解:因 为 cos π4+θ( )cos π 4-θ( ) = 1 2 (cos2θ-sin2θ)= 1 2cos2θ= 1 4 ,所 以 cos2θ= 1 2 。故sin4θ+cos4θ= 1-cos2θ2( ) 2 + 1+cos2θ2( ) 2 = 1 16+ 9 16= 5 8 。 评析:灵活运用cos2θ-sin2θ=cos2θ, sin2θ= 1-cos2θ 2 ,cos2θ= 1+cos2θ 2 是解答本 题的关键。 三、合理变角 例3 已知tanα+ π 5( )=2,tanβ- 4π 5( )= -3,则tan(α-β)= 。 解:由tanβ- 4π 5( )=-3,可得tan β+ æ è ç π 5 ) = -3。因 为 tan α+ π 5( ) =2,所 以 tan(α-β)=tan α+ π 5( )-β+ π 5( )[ ] = tanα+ π 5( )-tanβ+ π 5( ) 1+tanα+ π 5( )·tanβ+ π 5( ) = 2-(-3) 1+2×(-3) =-1。 评析:三角恒等变换中常见的角变换的 几种情形:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α= 1 2 [(α+β)+(α-β)],β= 1 2 [(α+β)-(α- β)], π 4+α= π 2- π 4-α( ) 等。 四、巧添分母 例4 cos π 9 ·cos 2π 9 ·cos - 23π 9( )= 。 解:cos π 9 ·cos 2π 9 ·cos - 23π 9( ) = cos20°·cos40°·cos100°=-cos20°·cos40°· cos80°=- 2sin20°·cos20°·cos40°·cos80° 2sin20° = -2sin40°·cos40°·cos80° 4sin20° = -2sin80°·cos80° 8sin20° =- sin160° 8sin20°=- sin20° 8sin20°=- 1 8 。 评析:在三角恒等变换中,有时要添加一 个恰当的分母,可使问题“连锁反应”,快速得 到解决。 作者单位:安徽省宁国中学 (责任编辑 郭正华) 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 $