深刻认识‘功能关系’-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■张志强 李海燕 一、理解“功能关系” 1.重力做的功等于重力势能的变化量。 重力做正功,重力势能减少;重力做负功(物 体克服重力做功),重力势能增加。(重力势 能的变化量与零势能参考平面的选取无关) 2.弹力做的功等于弹性势能的变化量。 弹力做正功,弹性势能减少;弹力做负功,弹 性势能增加。 3.合外力对物体做的功(各个外力做功 的代数和)等于物体动能的改变量。合外力 做正功,动能增加;合外力做负功,动能减少。 (动能定理) 4.在只有重力或弹力做功的物体系统 内,系统的总机械能保持不变。(机械能守恒 定律) 5.除重力和弹簧弹力外,其他力做的总 功等于物体机械能的改变量。其他力做正 功,机械能增加;其他力做负功,机械能减少。 (机械能守恒定律的引申) 二、应用“功能关系” 1.应用功能关系求解多过程运动问题。 例1 如图1所示,abc是竖直面内的光 滑固定轨道,水平轨道ab段的长度为2R,四 分之一圆弧轨道bc段的半径为R,两段轨道 相切于b点。一质量为m 的小球,始终受到 与重力大小相等的水平外力F 的作用,从a 点由静止开始向右运动,重力加速度为g。 小球在从a点开始运动到其能够到达的最高 点的过程中,机械能的增加量为( )。 图1 A.2mgR B.4mgR C.5mgR D.6mgR 点拨:小球能够到达的最高点不一定是 c点,小球可能到不了c点,也有可能经过c 点继续做斜上抛运动。 小球受到的水平外力 F= mg。设小球运动到c点时的速 度大小为vc,则在小球从a 点运动到c点的 过程中,根据动能定理得 F·3R-mgR= 1 2mv 2 c,解得vc= 4gR>0。因此小球离开 c点后,将继续做斜上抛运动。在水平方向 上做初速度为零,加速度大小为F m=g 的匀 加速运动;在竖直方向上做初速度为vc,加速 度大小为g 的匀减速运动。根据运动的独立 性可得,小球从离开c点到其能够到达的最 高点所需的时间t= vc g = 4R g 。在这段时间 内,小球在水平方向上的位移x= 1 2gt 2= 2R。小球从a 点开始运动到其能够到达的 最高点的过程中,在水平方向上的位移大小 为2R+R+2R=5R。根据功能关系可知, 小球机械能的增加量等于水平外力F 做的 功,即ΔE=F·5R=5mgR。 答案:C 变式:如图2所示,质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q,用长度为L 的轻杆连 接,在与小球P 相距 L 3 处有一个光滑固定轴 O。现在把轻杆置于水平位置后自由释放, 当小球Q 沿顺时针方向摆动到最低位置时, 小球P 和Q 的速度大小分别为( )。 图2 33 物理部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 A.vP= 2gL 3 B.vP= 2 2gL 3 C.vQ= 2gL 3 D.vQ= 2 2gL 3 选由小球P、Q 和轻杆组成 的系统为研究对象,只有重力做 功,系统的机械能守恒。在小球Q 沿顺时针 方向摆动到最低位置的过程中,有2mg· 2 3L=mg ·1 3L+ 1 2mv 2 P+ 1 2 ·2mv2Q。两小 球共轴转动,角速度ω 始终相等,根据v=ωr 得vQ=2vP,解得vP= 2gL 3 ,vQ= 2 2gL 3 。 答案:AD 2.应用功能关系求解变力做功问题。 图3 例2 如图3所示,一质量 为m,长度为l的均匀柔软细绳 PQ 竖直悬挂。用外力将细绳 的下端Q 缓慢地竖直向上拉起 至M 点,M 点与细绳上端P 相 距 l 3 。重力加速度为g。在此 过程中,外力做的功为( )。 A. 1 9mgl B. 1 6mgl C. 1 3mgl D. 1 2mgl 点拨:用外力将细绳的下端Q 缓慢地竖 直向上拉起至M 点的过程中,整段细绳只有 下半段 MQ 运动,且做平动,除重力以外其他 力做的功等于机械能的增加量。 取过 M 点的水平面为零势 能参考平面,将细绳的下端Q 缓 慢地竖直向上拉起至 M 点,细绳PM 段的重 力势能不变,细绳 MQ 段的重力势能增加量 ΔEp= 2 3 mg - 1 6l( ) - 2 3 mg - 1 3l( ) = 1 9mgl ,整段细绳的动能始终为零。根据功 能关系可知,在此过程中外力做的功等于细 绳机械能的增加量,即 W =ΔEp+ΔEk= 1 9mgl 。 答案:A 图4 变式:如图4所示,一 根质量为 m,长度为l的 均匀链条一半放在光滑的 水平桌面上,另一半悬在 桌边,桌面足够高,桌角处 约束链条的挡板光滑。将 一个质量为 m 的小球分 别拴在链条左端和右端,如图5甲、乙所示。 在这三种情况下,将链条均由静止释放,当整 根链条刚离开桌面时,关于它们的速度(