三角恒等变换中的数学思想-《中学生数理化》高一使用2021年6月刊

■吴淑梅 刘宏博 王 彬 三角恒等变换中蕴含着重要的数学思 想,如数形结合思想、分类讨论思想、整体换 元思想等,下面举例分析。 一、数形结合思想 例1 我国古代数学家赵爽利用“勾股 圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成就了我国 古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图”。 图1 如图1,由四个全等的直角三 角形和中间的一个小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形 ABCD。在 直 角 三 角 形 中, AF=a,BF=b,较小的锐角 ∠FAB=α。若(a+b)2= 196,正方形ABCD的面积为100,则cos2α= ,sin α 2-cos α 2= 。 解:由 题 意 得 a2 +b2 =100。因 为 (a+b)2=196,又a>b,所以a=8,b=6,所 以cosα= 4 5 ,sinα= 3 5 ,cos2α=2cos2α-1= 7 25 。由0<α< π 2 ,可得0< α 2< π 4 ,所以 cos α 2>sin α 2 ,所 以 sin α 2 -cos α 2 = - sin α 2-cos α 2( ) 2 =- 1-sinα=- 10 5 。 评注:本题以“赵爽弦图”为背景,考查了 三角恒等变换中对公式的灵活运用。 二、分类讨论思想 例 2 已 知 θ 是 第 二 象 限 角,化 简 1+sinθ+ 1-sinθ。 解:易 得 原 式 = sin θ 2 +cos θ 2 + sin θ 2-cos θ 2 。由θ是第二象限角,可知 2nπ+ π 2<θ<2nπ+π ,n∈Z,所以nπ+ π 4< θ 2 < nπ + π 2 ,n∈ Z。 故 原 式 = 2sin θ 2 ,2kπ+ π 4< θ 2<2kπ+ π 2 ,k∈Z, -2sin θ 2 ,2kπ+ 5π 4< θ 2<2kπ+ 3π 2 ,k∈Z。 ì î í ï ï ï ï 评注:解答本题的关键是准确判断所求 角的终边所在的象限。 三、整体换元思想 例3 求函数f(x)=sinx+cosx+ sinxcosx,x∈R的最值及取得最值时x的值。 解:设 sinx +cosx =t,则 t = 2sinx+ π 4( ),且t∈[- 2,2],所以sinx· cosx= t2-1 2 ,所以函数g(t)=t+ t2-1 2 = 1 2 (t+1)2-1,t∈[- 2,2]。当t=-1 时,由sinx+ π 4( )=- 2 2 ,解得x=2kπ+π, k∈Z或x=2kπ- π 2 ,k∈Z;当t= 2时,由 sinx+ π 4( )=1,解得x=2kπ+ π 4 ,k∈Z。故 当x=2kπ+π,k∈Z或x=2kπ- π 2 ,k∈Z 时,f(x)min=-1;当x=2kπ+ π 4 ,k∈Z时, f(x)max= 2+ 1 2 。 评注:在三角恒等变换中,可以把一个代 数式整体视为一个“元”来参与计算和推理, 但要注意这个“元”的取值范围。 说明:课题名称:“数学文化”校本课程对 学生 文 化 底 蕴 的 培 养 的 研 究(立 项 编 号: ayjky20277)。 作者单位:河南省安阳市实验中学 (责任编辑 郭正华) 9 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年6月 $