【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-一半模型-1星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-一半模型-1星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 一半模型 B 1.了解典型的一半模型 2.能够灵活运用一半模型解决几何问题 少考 知识提要 一半模型 · 平行四边形的一半模型 · 梯形的一半模型 · 任意四边形一半模型 精选例题 一半模型 1. 如下图， 和 都是矩形， 的长是 厘米， 的长是 厘米，那么图中阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    图中阴影部分的面积等于长方形 面积的一半，即 ． 2. 如图所示，平行四边形的面积是 平方厘米，则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为 ． 3. 如下图，长方形 和长方形 拼成了长方形 ，长方形 的长是 ，宽是 ，则它内部阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】    根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 ． 4. 如图，正方形 的边长为 ，，．长方形 的面积为  ． 【答案】     【分析】     连接 ，，由一半模型得，长方形 的面积是三角形 面积的两倍．又 所以长方形 面积为 ． 5. 如图，若 平方米， 平方米，则   平方米． 【答案】     【分析】    观察发现， 所以 6. 如图，正方形的边长为 ，四边形 的面积为 ，那么阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】     如图，设 边上的两个点分别为 、．连接 ．根据等积变形， 与 的面积是相等的，那么 与 的面积之和等于 与 的面积之和，即等于 的面积．而 的面积为正方形 面积的一半，为 ，又 与 的面积之和与阴影部分的面积相比，多了 个四边形 的面积，所以阴影部分的面积为：． 7. 一个长方形分成 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的 倍，黄色三角形的面积是 平方厘米．问：长方形的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    由于黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的 倍，所以黄色三角形面积是长方形面积的 倍，所以长方形的面积是 8. 校园里有一块长方形的地，长 米，宽 米．想种上红花、黄花和绿草．一种设计方案如下图，（除长方形四个顶点外，其余各点均为各边中点）那么其中红花的面积是   平方米． 【答案】     【分析】    图中 ，而且 ，所以，（平方米）． 9. 如图，正方形 的边长为 ，，．长方形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    连接 ，，则长方形 的面积是三角形 面积的二倍． 三角形 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， 所以长方形 面积为 ． 10. 下图是边长为 厘米的正方形， 厘米、 是  厘米． 【答案】     【分析】    连接 ，由一半模型得三角形 的面积是正方形的一半，即为 ，所以 厘米． 11. 如图所示，， 分别是正方形 的边 和对角线 上的点，且 ，．如果正方形 的面积为 ，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    如图，连接 ． 正方形边长为 ，，， 那么 12. 如下图所示，在梯形 中，、 分别是其两腰 、 的中点， 是 上的任意一点，已知 的面积为 ，而 的面积恰好是梯形 面积的 ，则梯形 的面积是   ． 【答案】     【分析】    如果可以求出 与 的面积之和与梯形 面积的比，那么就可以知道 的面积占梯形 面积的多少，从而可以求出梯形 的面积． 如图，连接 、．则 ，，于是 要求 与梯形 的面积之比，可以把梯形 绕 点旋转 ，变成一个平行四边形．如下图所示： 从中容易看出 的面积为梯形 的面积的一半． 也可以根据 得来． 那么，根据题意可知 的面积占梯形 面积的 ，所以梯形 的面积是 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设 与 重合，则 的面积占梯形面积的一半，那么 与 合起来占一半． 13. 图中由 个边长是 的正方形组成，则图中阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】    等积变形如下： 阴影部分面积： 14. 将长 厘米、宽 厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如下图所示，则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接辅助线如下图所示， 可知 ，，所以 ，，，所以 ，所以阴影部分是长方形面积的一半，为 ． 15. 如图所示，已知平行四边形 的面积是 平方厘米， 是其中的任意一点．那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为 平方厘米． 16. 如图，平行四边形的面积是 平方米，、 是上、下两边的中点，你能求出图中涂色部分的面积吗？ 【答案】     平方米． 【分析】    因为 、 是上下底两边的中点，所以阴影平行四边形的底是大的平行四边形底边的一半，且它的高与大的平行四边形的高相同，所以阴影平行四边形的面积为大的平行四边形面积的一半：． 17. 如图所示，长方形的长为 ，宽为 ．那么阴影三角形的面积和为多少？ 【答案】    ． 【分析】    “狗牙”模型，阴影部分多个三角形根据同底等高三角形的转化可以转变为一个大三角形，面积为长方形的一半，面积为 ． 18. 如图，平行四边形 的面积是 平方米厘米．那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影部分的面积转化成一个大的三角形．这个三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是 平方厘米． 19. 如图 是一个长方形，点 、 和 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是 个平方单位，求三角形 的面积是多少个平方单位． 【答案】     【分析】    如下图分割后可得，． 20. 如图， 为长方形 内的一点． 的面积为 ， 的面积为 ．请问： 的面积是多少？ 【答案】    8 【分析】    ，由一半模型，，所以 ，． 21. 如图，大长方形由面积是 平方厘米、 平方厘米、 平方厘米、 平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    如图， 将大长方形的长的长度设为 ，则 ，，所以 ，阴影部分面积为 ． 22. 如图所示，四边形 与 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． 【答案】    见解析． 【分析】    本题主要是运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接 ． 因为在平行四边形 中， 所以 同理， 所以平行四边形 与 面积相等． 23. 如图， 和 都是平行四边形，四边形 面积为 平方厘米．请问：阴影部分面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    双层犬牙模型，可以把 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 面积的一半； 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 面积的一半．所以阴影部分的面积是平行四边形 面积的一半，即 平方厘米． 24. 如图所示， 是平行四边形 中的任意一点，已知 和 的面积是 平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    平行四边形中任意一点，与四个顶点连线，分成的四个小三角形面积关系：． 25. 如图所示，正方形 的边长为 厘米，长方形 的长 为 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 【答案】     厘米 【分析】    连结 ，由一半模型得，长方形 的面积是三角形 面积的两倍，正方形 的面积，所以长方形 的面积和正方形 的面积相等，正方形 的面积为 ，所以长方形的宽为 ． 26. 在梯形 中， 平方厘米，．求梯形 的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    在平行四边形 中：，根据一半模型，，，所以梯形 的面积是 ． 27. 如图所示，一个长方形被分成若干部分，其中三块的面积是 、、，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    根据一半模型知， 所以阴影面积是 28. 如图，平行四边形 的底边 长 厘米，高 为 厘米， 是底边 上任意的一点．那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    平行四边形面积是 平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将 拉到 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为 平方厘米． 29. 长方形的面积为 ， 为各边中点， 为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】     为边上任意一点，所以可以把 点看成 的中点，所以三角形 的面积为四边形 面积的一半，三角形 面积等于三角形 的面积，所以阴影面积为四边形 面积减去三角形 的面积，又因为 、 为 、 中点，所以三角形 的面积为 ，所以阴影部分面积为 ． 30. 如图， 是梯形， 是平行四边形， 是正方形， 是长方形．又知 厘米， 厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    因为 是平行四边形，所以 ，那么 ．又 是正方形，所以 ．三角形 的面积是 ．因为三角形 在平行四边形 ，长方形 中都是一半，因此阴影部分面积为 ． 31. 正方形内，有两点，图中圆圈表示所在的小三角形，已知 ① 的面积是 ，② 的面积是 平方厘米，③ 的面积是 ，问 ④ 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    ① 与 ② 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半， ③ 和 ④ 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半， 所以 也就是 ④ 的面积是 ． 32. 如图所示，一个长方形被分成 个不同的三角形，红色三角形的面积是 平方厘米，黄色三角形的面积是 平方厘米，绿色三角形的面积是 平方厘米．那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半．所以蓝色面积为 平方厘米． 33. 是长方形 内一点，已知 的面积是 ， 的面积是 ，求 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由于 是长方形，所以 ，而 ，所以 ，则 ，所以 ． 34. 如图所示，梯形 是由正方形 和等腰直角三角形 构成．已知等腰直角三角形的斜边是 厘米，那么 面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是 平方厘米和 平方厘米． 方法一： 的面积是正方形面积的一半，所以 的面积是 平方厘米； 方法二：连结 ， 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则 的面积也是 平方厘米． 35. 如下图，长方形长为 ，宽为 ，求图中的两个三角形， 和 的面积分别是多少平方厘米？ 【答案】    ； 【分析】    两个三角形的面积分别是 ： ： 36. 如图，长方形 内的阴影部分的面积之和为 ，，，那么四边形 的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    梯形 中，阴影 与 面积相等，所以阴影总面积可以转化为 与四边形 ，其中 面积为长方形一半 ，所以四边形 面积为 ． 37. 如图，、、、 分别是四边形 各边的中点， 与 交于点 ，、、 及 分别表示四个小四边形的面积．试比较 与 的大小． 【答案】    相等． 【分析】    如下图，连接 、、、， 则可判断出，每条边与 点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于 、 这两个不同的组合，所以可知 ． 38. 如图所示，在平行四边形 中， 为 的中点，，三角形 （图中阴影部分）的面积为 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ．三角形 面积是三角形 面积的 倍，而三角形 面积是三角形 面积的 倍，所以三角形 面积是三角形 面积的 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 面积的 倍，所以平行四边形的面积是三角形 面积的 倍．因此，平行四边形的面积为 （平方厘米）． 39. 如图，正方形 的边长是 厘米，矩形 的长 厘米，求它的宽 ＝  厘米． 【答案】     【分析】    连接 ，正方形的面积为 的面积既是正方形面积的一半，也是长方形面积的一半．所以，长方形的面积也为 ，所以， 40. 长方形 中，对角线交于 点， 是 上一点，连接 、．如图得到三块阴影，已知阴影的面积之和是 平方厘米，长方形的长是 厘米，宽是 厘米．求四边形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形 的面积就等于 的面积． 这样阴影面积之和就变成了 和四边形 的面积之和． 前者面积是 后者面积是 即为所求． 41. 如图所示，已知三角形 的面积等于 平方厘米， 是 边上靠近 点的四等分点．三角形 的面积是多少平方厘米？平行四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米； 平方厘米 【分析】    连接 ，由于三角形 的面积是 平方厘米，而 ，所以三角形 的面积是 平方厘米，则三角形 的面积是 平方厘米，则平行四边形 的面积是 平方厘米． 42. 如图所示，、 将长方形 分成 块，三角形 的面积 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米．问：四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ， 由于 与 平行的，所以四边形 是梯形， 根据蝴蝶模型， 代入已知部分，可得 ， 43. —个矩形分成 个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的 ，黄色三角形的面积是 平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    黄色三角形与绿色角形面积之和是矩形面积的 ，而绿色三角形面积占矩形 面积的 ，所以黄色三角形面积占矩形面积的 ，已知黄色三角形面积是 平方厘米，所以矩形面积等于 ． 44. 如图， 是一个长方形， 点在 延长线上．已知 ，，且三角形 的面积等于 ，那么三角形 的面积等于多少？ 【答案】     【分析】    ，所以 即 ，，即 45. 如图， 是等腰直角三角形， 是正方形，线段 与 相交于 点．已知正方形 的面积 ，，则 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由于 是正方形，所以 与 平行，那么四边形 是梯形．在梯形 中， 和 的面积是相等的．而 ，所以 的面积是 面积的 ，那么 的面积也是 面积的 ． 由于 是等腰直角三角形，如果过 作 的垂线， 为垂足，那么 是 的中点，而且 ，可见 和 的面积都等于正方形 面积的一半，所以 的面积与正方形 的面积相等，为 ．那么 的面积为 ． 46. 如图，长方形 的面积为 ，那么平行四边形 的面积为多少？ 【答案】    ． 【分析】    三角形 的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面积等于长方形的面积． 47. 如图，已知长方形 的面积 ，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，那么三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】     如图，连接 ，连接对角线 ．由于四边形 是长方形，则 ，因此 ，所以 是 边的中点． 又因为四边形 是梯形，则 ． 48. 如图所示，长方形的面积是 平方厘米，其内 条长度相等且两两夹角为 的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形，请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连结 、，如图所示，从中容易看出，、 和 都是顶角为 的等腰三角形，它们的底角都是 ，因此 的三个角都是 ，是一个正三角形． 这样一来，、 和 的面积都相等，它们的面积之和是 的面积，即长方形面积的一半 平方厘米，因此这 个三角形的面积都是 平方厘米． 大长方形由 个梯形以及 组成，那么 个梯形的面积就是 平方厘米． 49. 如图所示，图中最大的长方形面积是 ，最小的长方形面积是 ，求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    最大的长方形面积与最小的长方形面积之差为 剩下部分空白面积与阴影面积相等，因此图中空白面积为 阴影部分总面积为 50. 如图，在长方形 中， 厘米， 厘米，，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    连接 ，在梯形 中，由梯形基本结论知：， 由一半模型得所以 又 ，（平方厘米）又 （平方厘米）所以 （平方厘米） 51. 如图，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是 厘米和 厘米，那么图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    利用等积变形，阴影部分面积为小正方形面积的一半， 52. 如图，长方形 被 、 分成四块，已知其中 块的面积分别为 、、 平方厘米，那么余下的四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 、． 四边形 为梯形，所以 又根据蝴蝶模型， 所以 所以 ，．那么长方形 的面积为 平方厘米，四边形 的面积为 53. 如下图， 和 都是矩形， 的长是 厘米， 的长是 厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即 54. 如图，正方形 的边长是 厘米，矩形 的长 厘米，求它的宽  ． 【答案】     厘米． 【分析】    连接 ，正方形 的面积 ，则长方形 的面积为 平方厘米，宽 ． 55. 如图， 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 和 ，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接 ， 由已知可得 所以 可以得到 由三角形相似可得阴影部分面积为 $