【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-4星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-燕尾模型-4星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 燕尾模型 C 1.了解燕尾模型的一般形状 2.熟悉燕尾模型的关系式 3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂的几何问题 少考 知识提要 燕尾模型 · 燕尾模型 · 结论一 （1）（2）（3） · 结论二 精选例题 燕尾模型 1. 如图，四边形 是矩形，、 分别是 、 上的点，且 ，， 与 相交于 ，若矩形 的面积为 ，则 与 的面积之和为  ． 【答案】     【分析】    方法1：如图，连接 、． 根据燕尾模型，，，而 ，所以 ，，则 ，，所以两个三角形的面积之和为 ． 方法2：如图，过 做 的平行线交 于 ， 则 ，所以 ，，即 ，所以 ．且 ，故 ，则 ．所以两三角形面积之和为 ． 2. 如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．则阴影部分面积等于  ． 【答案】     【分析】    方法一：连接 ， 根据燕尾定理， 设 份，则 份， 份， 份，如图所标． 所以 易得，阴影部分面积为 ． 方法二：连接 ， 由题目条件可得到 所以 而 所以则四边形 的面积等于 ．易得，阴影部分面积为 ． 3. 是边长为 厘米的正方形，、 分别是 、 边的中点， 与 交于 ，则四边形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连结 、． 设 份，根据燕尾模型得 份， 份， 份， 份，所以 4. 如图，在 中，点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，若 的面积为 ，那么四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    由于点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，如果能求出 、、 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形 的面积． 连接 ． 根据燕尾模型， 那么 ，即 那么 另解：得出 后，可得 则 5. 如图所示，在四边形 中，，，四边形 的面积是 ，那么平行四边形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    连接 ， 根据燕尾定理 设 ，则其他图形面积，如图所标，所以 6. 如图， 中 ，，，那么 的面积是阴影三角形面积的  倍． 【答案】     【分析】    如图，连接 ． 根据燕尾定理，，， 所以，， 那么，． 同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 面积的 ，所以 的面积是阴影三角形面积的 倍． 7. 在 中，，，求  ． 【答案】     【分析】    连接 ． 因为 ，根据燕尾模型，，即 ；又 ，所以 ．，所以 ． 8. 如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于  ． 【答案】     【分析】    方法一：如图所示， 根据燕尾模型，，． 设 份，则 份， 份， 份，如图所标 所以 ． 方法二：如图所示， 连接 ，由题目条件可得到 ， ， 所以 ， ， 而 ．所以则四边形 的面积等于 ． 9. 如图，已知正方形 中， 是 边的中点，， 是 与 的交点．四边形 的面积与正方形 的比是  ． 【答案】     【分析】    连接 、， 可得 四边形 的面积与正方形 的比是 ． 10. 如下图所示， 中， 是 边的中点， 是 边上的一点，且 ， 为 与 的交点．若 的面积为 平方厘米， 的面积为 平方厘米．且 是 平方厘米，那么 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接 ，可以看到这是个非常典型的燕尾模型．根据三角形等积变换：由 ，有 ；由 ，有 ．再根据燕尾模型：由 ，有 ；由 ，有 ．所以有 ，又已知 ，所以有 ．那么 ． 11. 如下图，三角形 中，，且三角形 的面积是 ，则三角形 的面积为  ，三角形 的面积为  ，三角形 的面积为  ． 【答案】    ，， 【分析】    连接 、、． 由于 ，所以 ，故 根据燕尾模型， 所以 则 那么 同样分析可得 ，则 所以 同样分析可得 所以 12. 如下图所示，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ，则四边形 的面积等于  ． 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ，因为 ，三角形 的面积是 ， 所以 根据燕尾模型， 所以 所以四边形 的面积是 ． 13. 如图，，，则   【答案】     【分析】    根据燕尾模型有 ，，所以 ． 14. 如图，正方形 的面积是 平方厘米， 是 的中点， 是 的中点，四边形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接 ， 根据沙漏模型得 ，设 份，根据燕尾模型 份， 份，因此 份， 份，所以 （平方厘米）． 15. 如图所示在 中，，，求  ． 【答案】     【分析】    连接 ． 因为 ，根据燕尾模型，，即 ；又 ，所以 ．则 ，所以 ． 16. 如下图所示， 中，，那么 的面积是阴影三角形面积的   倍． 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ． 根据燕尾模型，， 所以 那么 同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 面积的 ，所以 的面积是阴影三角形面积的 倍． 17. 如图， 在 上， 在 上，且 ，， 与 交于点 ．四边形 的面积等于 ，则三角形 的面积  ． 【答案】     【分析】    连接 ， 根据燕尾模型，，， 设 份，则 份， 份， 份， 份， 份，如图所标，所以 份， 份． 所以 ． 18. 如图所示，在 中，， 是 的中点，那么  ． 【答案】     【分析】    连接 ． 由于 ，，所以 ， 根据燕尾定理，． 19. 如图，三角形 的面积是 ， 在 上，点 在 上，且 ，， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于  ． 【答案】     【分析】    连接 ， 根据燕尾定理，，， 设 份，则 份， 份， 份， 份，所以 20. 如图，三角形 的面积为 平方厘米，、、 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为 与 的面积之差，又可以转化为 与 的面积之差． （法一）如图，连接 ． 由于 、、 分别为各边的中点，那么 为平行四边形，且面积为三角形 面积的一半，即 平方厘米；那么 的面积为平行四边形 面积的一半，为 平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于 为三角形 的中位线，长度为 的一半，则 所以 所以 那么 的面积占 面积的 ，所以阴影部分面积为 （法二）如图，连接 ． 根据燕尾定理， 所以 而 所以 那么阴影部分面积为 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： （1）利用面积公式：； （2）利用整体减去部分； （3）利用比例和模型． 21. 下图中， 是平行四边形， 为 的中点， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ，四边形 的面积是 平方厘米，则 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    解法一：蝴蝶模型与一半模型． （1） 是 的中点，，所以 （2）设平行四边形面积为“”． 是 的中点，所以 、、 占平行四边形面积的 ，梯形 占平行四边形面积的 ； （3）所以 同理可知 ． （4）根据一半模型，， （5） 的面积是 解法二：相似模型、等积变形与一半模型． （1） 是 的中点，，所以 ，而 ， （2）设平行四边形面积为“”． 是 的中点，所以 、 占平行四边形面积的 ，所以 同理可知 ． （3）根据一半模型，， （4） 的面积是 解法三：燕尾模型与一半模型． （1）设平行四边形面积为“”．． （2） 是 的中点， 为 的中点，连接 ， 设 为 份， 也为 份，根据燕尾 为 份，再根据燕尾 也为 份，根据按比例分配，、 都为 份，所以 同理可知 ． （3）根据一半模型，， （4） 的面积是 解法四：风筝模型与一半模型． 连接 同样可解． 22. 正六边形 的面积是 平方厘米， 分别是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是   平方厘米． 【答案】     【分析】    方法一：如下左图，连接 ，过 做 的平行线 ，交 于 ．因为空白的面积等于 面积的 倍，所以关键求 的面积，在 中用燕尾模型时，需要知道 的长度比，根据沙漏模型得 ，再根据金字塔模型得 ，因此 ，在 中，设 份，则 份， 份，所以 ， 因此 ． 方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 个梯形，所以阴影面积为 ． 23. 如图，长方形 的面积是 平方厘米，， 是 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连结 ， 设 份，则 份，因为 ， 份． 设 份，则根据燕尾模型其他面积如图所示 平方厘米． 24. 如图，三角形 中，，，求 ． 【答案】     【分析】    方法1：根据燕尾模型得 （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 ． 方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，则 ． 由赛瓦定理：，则 25. 三角形 的面积为 平方厘米， 为 中点， 为 中点， 为 中点，求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    令 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，连接 ，． 在 中，根据燕尾定理，，， 所以 由于 S，所以 在 中，根据燕尾定理， 设 ，则 ，，， 所以 ，，因为 ， 为 中点， 所以 ，， 所以 26. 在 中，，，求 ？ 【答案】     【分析】    题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 ． 连接 ． 因为 ，根据燕尾定理，，即 ； 又 ，所以 ．则 ， 所以 ． 27. 如图在 中，，求 的值． 【答案】     【分析】    连接 ． 设 ， 根据燕尾模型， 得 则 所以 同理连接 、 得 所以 28. 如图所示，在三角形 中，， 点是 的四等分点，请问：阴影部分的面积占三角形 面积的几分之几？ 【答案】     【分析】    连结四边形 的对角线 ，将其分为 和 ，如下图所示． 由题意， 点是 的四等分点，不妨就设 的面积是“”，而 的面积则是“”．再根据 是 的中点，那么 的面积就是“”， 的面积是“”． 根据燕尾模型得 ，所以 的面积就是“”份， 的面积就是“”份，如下图所示． 由此可得阴影部分的面积和是“”，而 的总面积是“”，所以阴影部分占总面积的 ． 29. 如图，在四边形 中，，，四边形 的面积是 ， 是平行四边形．那么四边形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    详解：连结 和 ，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出 中每一块的份数．因为 是平行四边形，可知 的面积也是 份． 四边形 的面积是 ． 30. 如右图，三角形 中，，，求 ． 【答案】     【分析】    根据燕尾模型得 （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 ． 31. 如图， 中，，，求 ． 【答案】     【分析】    根据燕尾模型得 （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 ． 事实上本题的结论即是平面几何中的一个著名的定理即赛瓦定理： 32. 如下图，已知 是 中点， 是 的中点， 是 的中点， 由这 部分组成，其中⑵比⑸大 平方厘米，那么 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    解法一：因为 是 中点， 为 中点，有 且 平行于 ，则四边形 为梯形． 在梯形 中有 ，，． 又已知 ，所以 所以 而 ，所以 ，梯形 的面积为⑵、⑶、⑷、⑸四块图形的面积和，为 有 与 的面积相等，为 ． 所以 面积为 ． 因为 是 中点，所以 的面积是： 解法二：如下图所示： 题上给出了 所以 因为 是 的中点， 是 的中点， 由共边定理得： 所以由上面的分析得到： 进一步共边原理可得： 同样这个题目可以用相似模型也能解． 33. 如图，已知 是 上的中点， 是 上的中点， 是 上的点，且如下图，已知 ，，求 ． 【答案】     【分析】    连接 、． 根据燕尾定理，，， 所以 因为 所以 所以 ． 34. 如下图所示，点 为三角形内一点，连接 分别交 边于点 ．若三角形 之面积分别为 平方厘米， 平方厘米， 平方厘米， 平方厘米．请问三角形 的面积为多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    设 为 ， 为 ．根据燕尾模型可以得到 转化为二元一次方程组．如下： ，解得 ，那么三角形 的面积为 35. 三角形 中 ，，四边形 的面积是三角形 的几分之几？ 【答案】     【分析】     设 ，那么 ，则 ，则 ，说明 ，三角形 是等腰三角形，则 ，进而推出 ，那么四边形 的面积是三角形 的 ． 36. 在下图中，三角形 是直角三角形，已知 且 ．请问图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ，根据燕尾模型．，，设 的面积为 份，那么 的面积为 份， 的面积也为 份，那么 占整个图形面积的 ，阴影部分的面积为 ． 37. 如图所示，三角形 的面积为 ，、、 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？ 【答案】     【分析】    给中间三角形的 个顶点标上字母，如图 所示． 由于 、、 分别是 条边上的三等分点，而 的面积为 ，所以 、、 的面积都是 ，这 个三角形的面积之和就等于大 的面积，它们的重叠部分是 个小三角形：、、．因此阴影 的面积就等于这 个小三角形的面积之和． 假设 ，由于 是 上的三等分点，可知 （如图 所示）． 由燕尾模型可得 ，所以 ；而 ，所以 （如图 所示）． 因此，整个 的面积是 ，则 ，即 ． 类似地，小 和小 的面积都是 ，那么阴影部分的面积就是 ． 38. 三角形 中， 是直角，已知 ，，，，那么三角形 （阴影部分）的面积为多少？ 【答案】     【分析】    连接 ． 的面积为 根据燕尾定理，； 同理 设 面积为 份，则 的面积也是 份，所以 的面积是 份，而 的面积就是 份， 也是 份，这样 的面积为 份，所以 的面积为 ． 39. 如图，三角形 的面积都是 ，三角形 的面积都是 ，三角形 的面积是 ，求三角形 的面积． 【答案】    ；． 【分析】    对于左图 所以，． 而右图是典型的燕尾模型， 计算同样得 ． 40. 如图，在四边形 中，，，四边形 的面积是 ，那么平行四边形 的面积为________． 【答案】     【分析】    连接 ， 根据燕尾模型 设 份，则其他图形面积，如图所标，所以 41. 如图，等腰直角三角形 的斜边在等腰直角三角形 的斜边上，连接 、、，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    方法一：延长 交 于点 ，连接 、，应用燕尾模型， 得 再由蝴蝶模型，，所以 同理 ，而 所以 ，同理 ，所以 方法二：由于等腰直角三角形 的面积是 ，所以 ，而 所以等腰直角 的高为 所以 的面积是 42. 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分（如图）．修剪西部、东部、南部各需 分钟、 分钟、 分钟，请你想一想修剪北部需要多少分钟？” 【答案】     【分析】    如上图所示，将北部分分成两个三角形，并标上字母． 即有 即有 解得 所以修剪北部草坪需要 43. 已知三角形 中，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，求三角形 和三角形 的面积． 【答案】     的面积是 ， 的面积是 【分析】    ，所以 的面积是 的 ， 的面积是 的 ，面积分别是 和 ． 44. 如图，面积为 的三角形 中，、、、、、 分别是 、、 的三等分点，求阴影部分面积． 【答案】     【分析】    三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！ 令 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，连接 、、 （1）求 ：在 中，根据燕尾定理， 设 ，则 ，，， 所以 ，所以 ，， 所以 ， 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 面积的 （2）求 ：在 中，根据燕尾定理 ， 所以 ，同理 在 中，根据燕尾定理 ， 所以 所以 同理另外两个五边形面积是 面积的 所以 45. 如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．则四边形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    方法一：连接 ． 根据燕尾模型， 设 份，则 份， 份， 份，所以 方法二：连接 ． 由题目条件可得到 所以 而 所以四边形 的面积等于 46. 如图， 的面积为 ，点 、 是 边的三等分点，点 、 是 边的三等分点，那么四边形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接 、、． 根据燕尾定理，，， 所以 ，那么 ，． 类似分析可得 ． 又 ，，可得 ． 那么，． 根据对称性，可知四边形 的面积也为 ，那么四边形 周围的图形的面积之和为 ，所以四边形 的面积为 ． 47. 如图，已知 ，，三角形 的面积是 ，求阴影部分面积． 【答案】     【分析】    题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此步判断这道题不应该通过面积公式求面积．又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， 方法一：连接 ，因为 ，，三角形 的面积是 ， 所以 根据燕尾模型， 所以 所以阴影部分面积是 ． 方法二：连接 ，由题目条件可得到 所以 而 所以阴影部分的面积为 ． 48. 如图，正方形 的边长是 ，、 分别是 和 边的中点，阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    设 和 的交点为 ，连结 ，连结 ， 设 的面积为 ，标出份数．可看出三角形 的面积是三角形 的 ，则三角形 的面积是正方形 的 ．所以阴影部分的面积是正方形 的 ，面积是 ． 49. 如右图，三角形 中，，且三角形 的面积是 ，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ． 份． 根据燕尾模型， 得 则 （份），因此 同理连接 、． 得 所以 三角形 的面积是 ，所以三角形 的面积是 ． 50. 如图，在三角形 中，， 点是 的四等分点，阴影部分的面积占三角形 面积的几分之几？ 【答案】     【分析】    设 ，则 ，根据燕尾模型有 ，，所以 ，因此 51. 如下图所示，三角形 的面积为 ，点 、 是 边的三等分点，点 、 是 边的三等分点．请问阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ，设 ，则 ， 从而有 ，易得 ． 说明 ，所以 ．． 所以 ． 再连接 ，根据燕尾模型，可以得到 则求出 图中阴影部分面积为 52. 如图，面积为 的三角形 中，、、、、、 分别是 、、 的三等分点，求阴影部分面积．（如果结果是分数，将结果化成最简分数．） 【答案】     【分析】    令 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，连接 ，，． 求四边形 的面积：在 中，根据燕尾模型， 所以 因而四边形 的面积为 同理可得另外两个顶点的四边形面积也是 的 ． 求五边形 的面积：在 中，根据燕尾模型， 所以 同理可得 在 中，根据燕尾模型， 所以 因此五边形 的面积为 同理另外两个五边形的面积也是 所以阴影部分的面积为 53. 在三角形 中，，，阴影部分面积占 的几分之几？ 【答案】     【分析】     如图所示，设 为 份，那么 为 份， 是 份，根据燕尾定理可知， 则 是 份，且 可以求出 为 份，所以阴影部分的面积占 的 ． 54. 三角形 中， 是直角，已知 ，，，三角形 （阴影部分）的面积为 ，求三角形 的面积． 【答案】    ． 【分析】    连接 ． 根据燕尾模型， 同理 设 面积为 份，则 的面积也是 份，所以 的面积是 份，而 的面积就是 份， 也是 份，这样 的面积为 份，所以 的面积为 ． 55. 如图，三角形 中，已知 ，，请在图上标出各个小三角形的面积份数．（即三角形 、、、的面积份数） 【答案】    见解析． 【分析】    根据燕尾模型可知： 设 为 份，则其他三角形份数如图所示： 56. 如图，正方形 的面积是 平方厘米， 是 的中点， 是 的中点，四边形 的面积是________平方厘米． 【答案】     【分析】    ，所以 ， 连接 ，设 ，则 ，由燕尾模型知 ，所以 ，又因为 ，所以 ， 57. 如图，三角形 中，，，求 ． 【答案】     【分析】    根据燕尾定理得 所以 58. 在三角形 中，，，求 ． 【答案】     【分析】    解法一：连接 ． ，可得 设 ，则 再根据燕尾定理， 所以 所以 解法二：可以用梯形蝴蝶定理来． 连接 ，把三角形 的面积看做“”，，而 的长占 的 ， 的长占 的 ， 来表示 的面积，所以 59. 如图，三角形 被线段 、 分成 个部分，，，已知三角形 的面积是 ，请问三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接线段 ， 所以 ，根据燕尾模型， 所以 ，又因为 所以 ，所以 60. 如图，面积为 的三角形 中，、、、、、 分别是 、、 的三等分点，求中心六边形面积． 【答案】     【分析】    设深黑色六个三角形的顶点分别为 、、、、、，连接 在 中根据燕尾定理，， 所以 ，同理 ， 所以 同理 根据容斥原理，和上题结果 $