【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-5星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-燕尾模型-5星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 燕尾模型 C 1.了解燕尾模型的一般形状 2.熟悉燕尾模型的关系式 3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂的几何问题 少考 知识提要 燕尾模型 · 燕尾模型 · 结论一 （1）（2）（3） · 结论二 精选例题 燕尾模型 1. 如下图，三角形 中，，且三角形 的面积是 ，则三角形 的面积为  ，三角形 的面积为  ，三角形 的面积为  ． 【答案】    ，， 【分析】    连接 、、． 由于 ，所以 ，故 根据燕尾模型， 所以 则 那么 同样分析可得 ，则 所以 同样分析可得 所以 2. 如图，四边形 是矩形，、 分别是 、 上的点，且 ，， 与 相交于 ，若矩形 的面积为 ，则 与 的面积之和为  ． 【答案】     【分析】    方法1：如图，连接 、． 根据燕尾模型，，，而 ，所以 ，，则 ，，所以两个三角形的面积之和为 ． 方法2：如图，过 做 的平行线交 于 ， 则 ，所以 ，，即 ，所以 ．且 ，故 ，则 ．所以两三角形面积之和为 ． 3. 如图， 中 ，，，那么 的面积是阴影三角形面积的  倍． 【答案】     【分析】    如图，连接 ． 根据燕尾定理，，， 所以，， 那么，． 同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 面积的 ，所以 的面积是阴影三角形面积的 倍． 4. 正六边形 的面积是 平方厘米， 分别是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是   平方厘米． 【答案】     【分析】    方法一：如下左图，连接 ，过 做 的平行线 ，交 于 ．因为空白的面积等于 面积的 倍，所以关键求 的面积，在 中用燕尾模型时，需要知道 的长度比，根据沙漏模型得 ，再根据金字塔模型得 ，因此 ，在 中，设 份，则 份， 份，所以 ， 因此 ． 方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 个梯形，所以阴影面积为 ． 5. 如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于  ． 【答案】     【分析】    方法一：如图所示， 根据燕尾模型，，． 设 份，则 份， 份， 份，如图所标 所以 ． 方法二：如图所示， 连接 ，由题目条件可得到 ， ， 所以 ， ， 而 ．所以则四边形 的面积等于 ． 6. 如图，在 中，点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，若 的面积为 ，那么四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    由于点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，如果能求出 、、 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形 的面积． 连接 ． 根据燕尾模型， 那么 ，即 那么 另解：得出 后，可得 则 7. 如图， 的面积为 ，点 、 是 边的三等分点，点 、 是 边的三等分点，那么四边形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接 、、． 根据燕尾定理，，， 所以 ，那么 ，． 类似分析可得 ． 又 ，，可得 ． 那么，． 根据对称性，可知四边形 的面积也为 ，那么四边形 周围的图形的面积之和为 ，所以四边形 的面积为 ． 8. 在 中，，，求 ？ 【答案】     【分析】    题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 ． 连接 ． 因为 ，根据燕尾定理，，即 ； 又 ，所以 ．则 ， 所以 ． 9. 如图，面积为 的三角形 中，、、、、、 分别是 、、 的三等分点，求阴影部分面积．（如果结果是分数，将结果化成最简分数．） 【答案】     【分析】    令 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，连接 ，，． 求四边形 的面积：在 中，根据燕尾模型， 所以 因而四边形 的面积为 同理可得另外两个顶点的四边形面积也是 的 ． 求五边形 的面积：在 中，根据燕尾模型， 所以 同理可得 在 中，根据燕尾模型， 所以 因此五边形 的面积为 同理另外两个五边形的面积也是 所以阴影部分的面积为 10. 如图所示，在四边形 中，，，四边形 的面积是 ，求平行四边形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ，根据燕尾定理 ，，设 ，则其他图形面积，如图所标，所以 ． 11. 如图，面积为 的三角形 中，、、、、、 分别是 、、 的三等分点，求中心六边形面积． 【答案】     【分析】    设深黑色六个三角形的顶点分别为 、、、、、，连接 在 中根据燕尾定理，， 所以 ，同理 ， 所以 同理 根据容斥原理，和上题结果 12. 三角形 的面积为 平方厘米， 为 中点， 为 中点， 为 中点，求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    令 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，连接 ，． 在 中，根据燕尾定理，，， 所以 由于 S，所以 在 中，根据燕尾定理， 设 ，则 ，，， 所以 ，，因为 ， 为 中点， 所以 ，， 所以 13. 如图，面积为 的三角形 中，、、、、、 分别是 、、 的三等分点，求阴影部分面积． 【答案】     【分析】    三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！ 令 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，连接 、、 （1）求 ：在 中，根据燕尾定理， 设 ，则 ，，， 所以 ，所以 ，， 所以 ， 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 面积的 （2）求 ：在 中，根据燕尾定理 ， 所以 ，同理 在 中，根据燕尾定理 ， 所以 所以 同理另外两个五边形面积是 面积的 所以 14. 如图所示，三角形 的面积为 ，、、 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？ 【答案】     【分析】    给中间三角形的 个顶点标上字母，如图 所示． 由于 、、 分别是 条边上的三等分点，而 的面积为 ，所以 、、 的面积都是 ，这 个三角形的面积之和就等于大 的面积，它们的重叠部分是 个小三角形：、、．因此阴影 的面积就等于这 个小三角形的面积之和． 假设 ，由于 是 上的三等分点，可知 （如图 所示）． 由燕尾模型可得 ，所以 ；而 ，所以 （如图 所示）． 因此，整个 的面积是 ，则 ，即 ． 类似地，小 和小 的面积都是 ，那么阴影部分的面积就是 ． 15. 如右图，三角形 中，，且三角形 的面积是 ，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ． 份． 根据燕尾模型， 得 则 （份），因此 同理连接 、． 得 所以 三角形 的面积是 ，所以三角形 的面积是 ． 16. 如图，三角形 中，，，求 ． 【答案】     【分析】    方法1：根据燕尾模型得 （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 ． 方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，则 ． 由赛瓦定理：，则 17. 如图，等腰直角三角形 的斜边在等腰直角三角形 的斜边上，连接 、、，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    方法一：延长 交 于点 ，连接 、，应用燕尾模型， 得 再由蝴蝶模型，，所以 同理 ，而 所以 ，同理 ，所以 方法二：由于等腰直角三角形 的面积是 ，所以 ，而 所以等腰直角 的高为 所以 的面积是 $