【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-4星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-鸟头模型-4星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 鸟头模型 C 1.能够准确的理解鸟头模型的概念 2.灵活应用鸟头模型解决复杂的几何问题 少考 知识提要 鸟头模型 · 概念 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 · 特征 共角三角形的面积比等于共角（相等角或者互补角）两夹边的乘积之比。 $S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\times AE)$   精选例题 鸟头模型 1. 如图，三角形 中，延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ．如果三角形 的面积是 ，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， 所以 2. 如下图所示，三角形 的面积为 ，且 ，则三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    先分别求出 、、 的面积，再用 的面积减去这三个三角形的面积即为 的面积． 因为，，所以，，根据“鸟头定理”，，同理可得，，，所以 ． 3. 如图．将三角形 的 边延长 倍到 ， 边延长 倍到 ， 边延长 倍到 ．如果三角形 的面积等于 ，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    （法 ）连接 、． 因为 ，，所以 ． 同理可得其它，最后三角形 的面积 ． （法 ）用共角定理因为在 和 中， 与 互补，所以 又 ，所以 ． 同理可得 ，． 所以 4. 如图，将四边形 的四条边 、、、 分别延长两倍至点 、、、，若四边形 的面积为 ，则四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    连接 、． 由于 于是 同理 于是 再由于 于是 同理 于是 那么 5. 如图，，，已知阴影部分面积为 平方厘米， 的面积是  平方厘米． 【答案】     平方厘米 【分析】    ， 所以 6. 如下图所示，点 和 三等分 ， 和 三等分 ， 和 三等分 ． 面积是 面积的  倍． 【答案】     【分析】    连接 ，根据鸟头模型，可以得到 都是 的 倍，那么可以得到平行四边形 、、 均为 的 倍，图中的三个小三角形的面积都与 的面积相等，那么 面积是 面积的 ． 7. 如图所示，正方形 边长为 厘米，，．三角形 的面积为  平方厘米． 【答案】     【分析】    由题意知 可得 根据”共角定理”可得， 而 所以 同理得， 故 8. 如图，在 中，点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，若 的面积为 ，那么四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    由于点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，如果能求出 、、 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形 的面积． 连接 ． 根据燕尾模型， 那么 ，即 那么 另解：得出 后，可得 则 9. 正方形 边长为 厘米，．三角形 的面积为  平方厘米． 【答案】     【分析】    正方形的面积为 ，那么根据鸟头模型可以得出 阴影部分面积为 ． 10. 如图， 为四边形 内部的点，，．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形 和 三角形 的面积分别为 和 ，那么四边形 的面积最大是  ． 【答案】     【分析】    延长 ， 交于点 ，连接 ． ，所以三角形 为正三角形． 由于 所以 的面积为 而三角形 面积占 面积 的 面积是 面积的 注意到 中各三角形面积均为整数，所以 面积为 的倍数． 面积是 的倍数，所以 面积最大为 ， 面积最大为 11. 已知 的面积为 平方厘米，，，，求 的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    ， ， ， 又 的面积为 平方厘米，所以 12. 如图，把四边形 的各边都延长 倍，得到一个新四边形 ．如果 的面积是 平方厘米，则 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    连接 ，有 中 ，又夹成两角的边 、、、 的乘积比，，所以 ． 类似的，还可得 ，有 同理可证： 所以四边形 的面积是 ． 13. 如图，四边形 的面积是 平方米，，，，，求四边形 的面积． 【答案】     平方米． 【分析】     连接 ，由鸟头知： 所以 连接 ，同理可得： 又因为四边形 的面积是 平方米所以四边形 的面积是 14. 如图，已知三角形 面积为 ，延长 至 ，使 ；延长 至 ，使 ；延长 至 ，使 ，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    ， ， ． 所以 ． 15. 已知 的面积为 平方厘米，，，求 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】     所以三角形 的面积为 平方厘米 所以 16. 如图，三角形 被分成了甲、乙两部分 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 【答案】     【分析】    ，，，，． 17. 如图，三角形 的面积为 平方厘米，其中 ，，三角形 的面积是多少？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    由于 ，所以可以用共角定理，设 份， 份，则 份， 份，由共角定理 设 份，恰好是 平方厘米，所以 份是 平方厘米， 份就是 三角形 的面积是 平方厘米． 18. 把四边形 的各边都延长 倍，得到一个新的四边形 ．如果 的面积是 平方厘米，则 的面积是多少？ 【答案】     平方厘米 【分析】     连接 ，由共角定理知： 同理连接 ，可得： 所以 ． 19. 如图，在平行四边形 中， 为 的中点，，三角形 （图中阴影部分）的面积为 平方厘米．平行四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】     ． 20. 如图，平行四边形 ，，，，，平行四边形 的面积是 ，求平行四边形 与四边形 的面积比． 【答案】     【分析】    连接 ，根据共角定理： 又因为 ，所以，， 同理可得： 连接 ，． 所以 ． 21. 已知，，，，那么， 的面积是 的几分之几？ 【答案】     【分析】    ， ， ， 22. 如图，把三角形 的各边向外延长 倍后得到三角形 ，三角形 的面积为 三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    令三角形 为 份，则根据共角模型，有： 所以三角形 的面积为 份，同理，三角形 的面积为 份，三角形BEF的面积为 份．则三角形 的面积为 份，对应面积为 ，所以 ． 23. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡”的一声，飞镖被劈成了两半．如下图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为 ．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？ 【答案】     【分析】    对图形进行分割，分割过程如下： 即所给我我们的图形共有 个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为 ，则根据共角模型有： 所以四边形 的面积为： 所以较小的残片的面积为： 所以较小残片占整个面积的： 24. 如图，，，如果 的面积是 ，那么 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    简答：由已知条件得 利用“共角三角形”性质得三角形 的面积是 25. 如图，已知 ，，，试求 $\dfrac{\text{三角形$ DEF $的面积}}{\text{三角形$ ABC $的面积}}$ 的值？ 【答案】     【分析】    ， ，， 所以 26. 如图，在三角形 中， 为 的中点， 为 上的一点，且 ，已知四边形 的面积是 ，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】     则 ，， 所以：． 27. 如图所示，已知平行四边形 的面积是 ，、 是 、 的中点， 交 于 ，求 的面积． 【答案】     【分析】    解法一：由题意可得，、 是 、 的中点，得 ，而 所以 并得 、 是 的三等分点，可得 ，所以 所以 又因为 所以 解法二：延长 交 于 ，如下图， 可得， 从而可以确定 的点的位置， 可得 28. 如图，已知 ，，，那么 等于多少？ 【答案】     【分析】    设 ，则根据 现在分别去求 ，由鸟头定理知道： 同理： 所以： 29. 如图，把三角形 的各边向外延长 倍后得到三角形 ，三角形 的面积为 ．三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    令三角形DEF为 份，则根据共角模型，有： 所以三角形 的面积为 份，同理，三角形 的面积为 份，三角形 的面积为 份．则三角形 的面积为 份，对应面积为 ，所以 ． 30. 如图所示，，且 ，，，而且三角形 的面积等于四边形 的面积．请问： 的长度是多少？ 【答案】     【分析】    如下图所示，延长 和 交于点 ． 由于 ，因此 为等边三角形，则 而 ，，由此可得 ，，所以 是 的 又知 的面积等于四边形 的面积， 的面积是 的 则 因此 ． 31. 如图，三角形 面积为 ，延长 至 ，使得 ；延长 至 ，使得 ；延长 至 ，使得 ，求三角形 的面积？ 【答案】     【分析】     32. 如图， 的面积是 ，并且 ，，，试求 的面积． 【答案】     【分析】    详解：由鸟头模型可得， 33. 如下图所示，在三角形 中，已知 、、、．请问三角形 与三角形 的面积比为何？ 【答案】     【分析】    根据鸟头模型， 最后可以得出 34. 如图，在 中，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ， 是 的中点，若 的面积是 ，则 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    因为在 和 中， 与 互补，所以 又因为 ，所以 ．同理可得 ，． 所以 35. 如图，长方形 的面积是 ， 是 边的中点， 在 边上，且 ．那么，阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    ，，，所以阴影部分的面积为 ． 36. 如图，三角形 的面积为 ，其中 ，，三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    ，，． 37. 如图所示，在直角三角形 中， 的长 厘米， 的长 厘米， 的长 厘米，有一只小虫从 点出发，沿 以 厘米/秒的速度向 爬行；另一只小虫从 点出发，沿 以 厘米/秒的速度向 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形？（请写出所有答案） 【答案】     秒、 秒或 秒． 【分析】    设经过了 秒，则 厘米， 厘米，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形的情况有三种： （1）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 （如图 ）．这个最好算，，，故 ，解得 ； （2）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ，如图 ，从 向 作垂线，垂足为 ，在金字塔 种，，即 ，所以 ．利用 列出方程 ，解得 ；（或者利用 和 相似，得 ，即 ，所以 ） （3）以 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ，如图 ，从 向 作垂线，垂足为 ，利用 和 相似得 ，即 ，所以 ．利用 列出方程 ，解得 ． 综上，经过 秒或 秒或 秒后，两只小虫所在的位置 、 与 组成的三角形 是等腰三角形． 38. 分别延长四边形 的四个边，使得 （如下图所示）．如果四边形 的面积是 平方厘米，请问四边形 的面积为多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ，根据鸟头模型，可得 那么可得 连接 ，同理可得： 所以整个图形的面积是 39. 如下图所示，正方形 有三个顶点分别在三角形 的三条边上，且 ．求出正方形 的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    如下图所示，令整个三角形 的面积为 ，根据鸟头模型可知 则 所以 将三角形 与三角形 分别以 点和 点逆时针和顺吋针旋转 再加上 即可以得到 一个新的四边形 ． 四边形 的面积为： 则可以求出 40. 边长为 厘米和 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为 ，小正方形为 ， 分别交 于 两点， 所以 因为 所以 41. 如图所示，正方形 边长为 厘米， 是 的中点， 是 的中点， 是 的中点，三角形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 、．因为 ，根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到 ，，，所以 42. 长方形 的面积为 ，、、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】    解法一：寻找可利用的条件，连接 、，如下图： 可得：、、，而 ． 即 而 ， 所以阴影部分的面积是：． 解法二：特殊点法．找 的特殊点，把 点与 点重合， 那么图形就可变成下图： 这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有： 43. 长方形 的面积为 平方厘米，、、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【答案】     平方厘米 【分析】    解法一：寻找可利用的条件，连接 、，如下图： 可得： 而 即 而 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法．找 的特殊点，把 点与 点重合， 那么图形就可变成下图： 这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有： $