【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-1星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-蝴蝶模型-1星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 蝴蝶模型 C 1.了解蝴蝶模型及其公式 2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的几何知识 少考 知识提要 蝴蝶模型 · 任意四边形蝴蝶模型 （1） （2） · 梯形蝴蝶模型 （1） （2） （3） 精选例题 蝴蝶模型 1. 如图，四边形 的对角线 与 交于点 ．如果 的面积等于 的面积的 ，且 ，，那么 的长度是 的长度的  倍． 【答案】     【分析】    根据蝴蝶模型：，， 的长度是 长度的 倍． 2. 已知 是平行四边形，，三角形 的面积为 平方厘米．则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接 ． 由于 是平行四边形，，所以 ， 根据梯形蝴蝶定理， 所以 又 阴影部分面积为 3. 如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，已知 与 的面积分别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶定理， 可得 再根据梯形蝴蝶定理， 所以 那么梯形 的面积为 4. 如图，长方形中，若三角形 的面积与三角形 的面积比为 ，四边形 的面积为 ，则三角形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    做辅助线如下： 利用蝴蝶模型，这样发现四边形 分成左右两边，其面积正好等于三角形 和三角形 ，所以三角形 的面积就是 ，三角形 的面积就是 ． 5. 如图，长方形 中， 是直角三角形且面积为 ， 的长是 ， 的长是 ．那么四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    解法一：连接 ， 依题意 所以 则 又因为 所以 得 所以 解法二：由于 所以 而 根据蝴蝶定理， 所以 所以 6. 如下图所示，点 在线段 上，三角形 和三角形 都是正三角形，且 是线段 的中点， 是线段 的中点．若三角形 的面积为 ，三角形 （阴影部分）的面积是  ． 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ，那么 ，根据梯形蝴蝶模型，得到 7. 如图，梯形 的对角线相互垂直．三角形 的面积是 ， 的长是 ，求 的长． 【答案】     【分析】    ，，． 8. 如图，，，求梯形的面积． 【答案】     【分析】    设 为 份， 为 份． 根据梯形蝴蝶定理， 所以 又因为 所以 那么 所以梯形面积 或者根据梯形蝴蝶定理， 9. 梯形的下底是上底的 倍，三角形 的面积是 ，问三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶定理，，， 所以 ． 10. 如图，在 中，已知 、 分别在边 、 上， 与 相交于 ，若 、 和 的面积分别是 、、，则 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    这道题给出的条件较少，需要运用共边模型和蝴蝶模型来求解． 根据蝴蝶模型得 设 ，根据共边模型我们可以得 解得 ． 11. 下图中的正方形 的面积为 ， 是 边上的中点．求图中阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    令三角形 的面积为 份，则三角形 的面积为 份，三角形 的面积为 份，所以 ．则题目中所求阴影部分面积为：． 12. 图中的四边形土地的总面积是 公顷，两条对角线把它分成了 个小三角形，其中 个小三角形的面积分别是 公顷和 公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 【答案】     【分析】    在 ， 中有 ，所以 ， 的面积比为 同理有 ， 的面积比为 所以有 即 所以有 与 的面积比为 ， 公顷， = 公顷．显然，最大的三角形的面积为 公顷． 13. 梯形的下底是上底的 倍，三角形 的面积是 平方厘米，问三角形 的面积是多少？ 【答案】     平方厘米 【分析】    根据梯形蝴蝶模型，，， 所以 ． 14. 如图：求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    应用蝴蝶模型可得：三角形 的面积等于 ． 15. 如下图，四边形 中，对角线 和 交于 点，已知 ，并且 ，那么 的长是多少？ 【答案】     【分析】    根据蝴蝶定理，，所以 ，又 ，所以 ． 16. 右图中 是梯形， 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米． 【答案】     【分析】    连接 ． 由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那么 ．根据蝴蝶模型， 故 ，所以 ． 另解：在平行四边形 中， 所以 根据蝴蝶模型，阴影部分的面积为 17. 如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，求四边形 的面积． 【答案】     【分析】     连接 ，，．所以，四边形 的面积是 ． 18. 如图，某公园的外轮廓是四边形 ，被对角线 、 分成四个部分， 面积为 平方千米， 面积为 平方千米， 的面积为 平方千米，公园由陆地面积是 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【答案】     平方千米 【分析】    应用蝴蝶模型 四边形 （公园）的面积是 人工湖的面积为 19. 如下图，四边形 中，对角线 和 交于 点，已知 ，并且 $\dfrac{\text{三角形 $ ABD $ 的面积}}{\text{三角形 $ CBD $ 的面积}}= \dfrac{3}{5}$，那么 的长是多少？ 【答案】     【分析】    根据蝴蝶定理，\[\dfrac{\text{三角形 $ABD$ 的面积}}{\text{三角形 $CBD$ 的面积}}= \dfrac{{AO}}{{CO}},\]所以 ，又 ，所以 ． 20. 图中 的面积为 ，线段 的长度为 的 倍，求梯形 的面积． 【答案】     【分析】    在 中，因为 且 ，所以有 因为 和 等底等高，所以有 从而 在 中， 所以梯形面积： 21. 如图中四边形 的对角线 和 交于点 ，如果三角形 的面积是 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米．请问：三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    根据题意可得：\[\text{三角形 $BAD$ 与三角形 $BCD$ 的面积比}=AO:CO = 30:50 = 3:5,\]所以三角形 的面积为 ． 22. 如下图所示，在梯形 中，，对角线 相交于点 ．已知 ，且梯形 的面积为 ．求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    根据蝴蝶模型．根据题意，， 则根据蝴蝶模型， 令 份，则梯形 共有： 所以 份为： 则三角形 的面积为 23. 如图，梯形 中，、 的面积分别为 和 ，求梯形 的面积． 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶定理， 所以 ，， ． 24. 图中的四边形土地的总面积是 平方厘米，两条对角线把它分成了 个小三角形，其中 个小三角形的面积分别是 平方厘米和 平方厘米．那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    在 ， 中有 ，所以 ， 的面积比为 ．同理有 ， 的面积比为 ．所以有 ，所以有 与 的面积比为 ，，，最大的三角形面积是 ． 25. 如图所示，， 将长方形 分成4块， 的面积是 cm ， 的面积是 ．四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ，在右边的梯形 中，由梯形基本结论知：，所以 ，，又 ，所以 ，所以四边形 的面积是 平方厘米。 26. 如图，每个小方格的边长都是 ，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    因为 ，且 ，所以 ，，． 27. 长方形 中，对角线交于 点， 是 上一点，连接 、．如图得到三块阴影，已知阴影的面积之和是 平方厘米，长方形的长是 厘米，宽是 厘米．求四边形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形 的面积就等于 的面积． 这样阴影面积之和就变成了 和四边形 的面积之和． 前者面积是 后者面积是 即为所求． 28. 如图所示，、 将长方形 分成 块，三角形 的面积 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米．问：四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ， 由于 与 平行的，所以四边形 是梯形， 根据蝴蝶模型， 代入已知部分，可得 ， 29. 图中的四边形土地的总面积是 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是 公顷和 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积． 【答案】     公顷 【分析】    设另两块面积分别为 ，如图： 设 ，，则 ，， 代入，得： 所以面积最大的一个的面积为 公顷． 30. 在下图的正方形 中， 是 边的中点， 与 相交于 点，三角形 的面积为 平方厘米，那么正方形 面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接 ，根据题意可知 ，根据蝴蝶模型得 （平方厘米），（平方厘米），那么 （平方厘米）． 31. 如图，梯形 中，三角形 、三角形 的面积分别是 和 ，求梯形 的面积． 【答案】     【分析】    由于四边形 是梯形，所以 ，根据蝴蝶模型， 代入已知面积值，可以求出 所以 32. 如图，正六边形面积为 ，那么阴影部分面积为多少？ 【答案】     【分析】    连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶模型把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 ． 33. 如图，长方形 被 、 分成四块，已知其中 块的面积分别为 、、 平方厘米，那么余下的四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 、． 四边形 为梯形，所以 又根据蝴蝶模型， 所以 所以 ，．那么长方形 的面积为 平方厘米，四边形 的面积为 34. 如图， 中 ，， 与 平行， 的面积是 平方厘米．那么 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    因为 与 平行，且 ，所以 ，所以 又因为 的面积是 平方厘米，所以 的面积是 平方厘米，由蝴蝶模型结论知 的面积是 平方厘米，所以 的面积是 平方厘米，又因为 ，所以 所以 的面积是 平方厘米． 35. 如图，四边形被两条对角线分成 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形 的面积；（2）？ 【答案】    （1）（2） 【分析】    （1），； （2） 或 ． $