【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-3星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-蝴蝶模型-3星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 蝴蝶模型 C 1.了解蝴蝶模型及其公式 2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的几何知识 少考 知识提要 蝴蝶模型 · 任意四边形蝴蝶模型 （1） （2） · 梯形蝴蝶模型 （1） （2） （3） 精选例题 蝴蝶模型 1. 已知 是平行四边形，，三角形 的面积为 平方厘米．则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接 ． 由于 是平行四边形，，所以 ， 根据梯形蝴蝶定理， 所以 又 阴影部分面积为 2. 如图，平行四边形 中，点 为 边靠近点 的三等分点，点 为 边靠近点 的三等分点，连接 、 相交于点 ，则  ． 【答案】     【分析】    假设平行四边形 面积为 ，连接线段 、，根据蝴蝶模型， 3. 在图中，， 分别是 ， 的中点， 垂直于 ，已知 厘米， 厘米，那么三角形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    方法一：连接 ． 因为 是中点，所以三角形 的面积是三角形 面积的一半； 因为 是中点，所以三角形 的面积是三角形 面积的一半． 因此，三角形 的面积是三角形 面积的四分之一，四边形 的面积是三角形 的四分之三． 令 与 的交点于 ．三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，因此四边形 的面积为 三角形 的面积为 方法二：连接 ，可知 与 平行且 ，设 份，根据梯形蝴蝶定理则 份，再根据相似，，， 份，所以 份，又因为 和 垂直，所以 所以 4. 已知四边形 是平行四边形，，三角形 的面积为 平方厘米．则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     平方厘米 【分析】     连接 ．由于 是平行四边形，，所以 根据梯形蝴蝶模型， 所以 又 阴影部分面积为 ． 5. 如图，正方形 中， 是 边的中点， 与 相交于 点，三角形 的面积为 平方厘米，那么正方形 面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】     连接 ，根据题意可知 ，根据蝴蝶模型得 ，，那么 ． 6. 如图，正方形 中，点 为 边的中点，点 为 边靠近点 的三等分点，连接 、 相交于点 ，则  ． 【答案】     【分析】    连接线段 、， 7. 如下图，在梯形 中， 与 平行，且 ，点 、 分别是 和 的中点，已知阴影四边形 的面积是 平方厘米，则梯形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】     连接 ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形 面积． 设梯形 的上底为 ，总面积为 ．则下底为 ，． 所以 由于梯形 和梯形 的高相等，所以 故 根据梯形蝴蝶定理，梯形 内各三角形的面积之比为 所以 同理可得 所以 由于 所以 8. 下图中，四边形 和 都是平行四边形，四边形 的面积是 ，，则四边形 的面积  ． 【答案】     【分析】    连接 ．易知 、 为两个相同的梯形．根据梯形中的蝴蝶模型可知： 所以 所以 9. 如图，长方形 被 、 分成四块，已知其中 块的面积分别为 、、 平方厘米，那么余下的四边形 的面积为  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接 、． 四边形 为梯形，所以 又根据蝴蝶定理， 所以 所以 那么长方形 的面积为 四边形 的面积为 10. 如下图所示， 是梯形，，对角线 、 相交于 点，，交腰 于 点．如果三角形 的面积是 平方厘米，那么三角形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶模型，在梯形 中， 的面积等于 的面积，均为 平方厘米． 在梯形 和梯形 中，可分别得出 那么三角形 的面积等于三角形 的面积的 倍， 11. 如图，在一个边长为 的正方形中，放入一个边长为 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为  ． 【答案】     【分析】    本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况． 解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如下图所示，图中四个空白三角形的高均为 ，因此空白处的总面积为 ，阴影部分的面积为 ． 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 ，下底都为 ，上底、下底之比为 ，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 ，阴影部分的面积占该梯形面积的 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 ，那么阴影部分的面积为 ． 12. 如图，四边形 的对角线 与 交于点 ．如果 的面积等于 的面积的 ，且 ，，那么 的长度是 的长度的  倍． 【答案】     【分析】    根据蝴蝶模型：，， 的长度是 长度的 倍． 13. 如图，长方形 的面积是 ， 是 的三等分点，，则阴影部分的面积为  ． 【答案】     【分析】    如图，连接 ． 根据蝴蝶定理，，所以 ； ，所以 ． 又 ，，所以阴影部分面积为：． 14. 如下图所示， 厘米，长方形 中的 厘米，阴影 的面积是 平方厘米，则 的面积是   平方厘米． 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ，则三角形 的面积等于三角形 的面积，所以 （厘米），（厘米），又因为三角形 和三角形 同高，且 是 的 倍，所以三角形 的面积是三角形 面积的 倍，所以三角形 的面积是 （平方厘米）． 15. 如图，三角形田地中有两条小路 和 ，交叉处为 ，张大伯常走这两条小路，他知道 ，且 ．则两块地 和 的面积比是  ． 【答案】     【分析】    方法一：连接 ． 设 的面积为 ， 的面积 ，则根据题上说给出的条件，由 得 ， 即 的面积为 、； 又有 ，、，而 ； 得 ，所以 ． 方法二：连接 ，设 ，则 ，设 ，则有 ，解得 ，所以 ． 方法三：过 点作 交 于 点， 由相似得 ，又因为 ，所以 ，所以两块田地 和 的面积比 ． 16. 图中 是梯形，四边形 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】     方法一：连接 ，由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那么 ，根据蝴蝶模型， 故 ，所以 ． 方法二：在平行四边形 中， 所以 根据蝴蝶模型，阴影部分的面积为 17. 如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，已知 与 的面积分别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶定理， 可得 再根据梯形蝴蝶定理， 所以 那么梯形 的面积为 18. 四边形 的对角线 与 交于点 （如图所示）．如果三角形 的面积等于三角形 的面积的 ，且 ，，那么 的长度是 的长度的  倍． 【答案】     【分析】    解法一：因为 所以 所以 解法二：作 于 ， 于 ． 因为 得到 所以 得到 所以 所以 19. 如下图所示，长方形 内的阴影部分的面积之和为 ，，．四边形 面积为  ． 【答案】     【分析】    ，所以阴影部分面积等于长方形面积的一半加四边形 的面积，故四边形 面积等于 ． 20. 见下图，三角形 的面积为 ，，，则三角形 的面积为  ． 【答案】     【分析】     设三角形 的面积为 ，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为 ，再设三角形 的面积为 ，则有 得 ，则三角形 的面积为 21. 见下图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为  ． 【答案】     【分析】    根据上图可得到： 22. 如图，在 中，已知 、 分别在边 、 上， 与 相交于 ，若 、 和 的面积分别是 、、，则 的面积是  ． 【答案】     【分析】    根据蝴蝶定理得 设 ，根据共边定理我们可以得 解得 23. 如图所示，已知长方形 中， 的面积为 ， 的面积为 ，则阴影四边形 的面积  ． 【答案】     【分析】     连接 ，由梯形蝴蝶定理可知， 所以 所以 所以 24. 如图，在 中，， 分别是 ， 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是 ，则  ． 【答案】     【分析】    由于 ， 都是中点，则 ，设 为 份，则 为 份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是 份，乙是 份，两个翅膀都是 份，由此可推出 为 份，且每份为 所以 25. 如图，在梯形 中，，，且 的面积比 的面积小 平方厘米．梯形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    根据题意可知 则 而 所以 则 又 所以 所以 26. 如图，长方形 中， 是直角三角形且面积为 ， 的长是 ， 的长是 ．那么四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    解法一：连接 ， 依题意 所以 则 又因为 所以 得 所以 解法二：由于 所以 而 根据蝴蝶定理， 所以 所以 27. 如图，长方形中，若三角形 的面积与三角形 的面积比为 ，四边形 的面积为 ，则三角形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    做辅助线如下： 利用蝴蝶模型，这样发现四边形 分成左右两边，其面积正好等于三角形 和三角形 ，所以三角形 的面积就是 ，三角形 的面积就是 ． 28. 正方形 的边长为 米， 是 的中点（见下图）．四边形 的面积为   平方米． 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ，根据等积变形，设 份，那么 份， 份，所以 份，正方形 共为 （份），四边形 的面积为 （平方米）． 29. 下图中， 是平行四边形， 为 的中点， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ，四边形 的面积是 平方厘米，则 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    解法一：蝴蝶模型与一半模型． （1） 是 的中点，，所以 （2）设平行四边形面积为“”． 是 的中点，所以 、、 占平行四边形面积的 ，梯形 占平行四边形面积的 ； （3）所以 同理可知 ． （4）根据一半模型，， （5） 的面积是 解法二：相似模型、等积变形与一半模型． （1） 是 的中点，，所以 ，而 ， （2）设平行四边形面积为“”． 是 的中点，所以 、 占平行四边形面积的 ，所以 同理可知 ． （3）根据一半模型，， （4） 的面积是 解法三：燕尾模型与一半模型． （1）设平行四边形面积为“”．． （2） 是 的中点， 为 的中点，连接 ， 设 为 份， 也为 份，根据燕尾 为 份，再根据燕尾 也为 份，根据按比例分配，、 都为 份，所以 同理可知 ． （3）根据一半模型，， （4） 的面积是 解法四：风筝模型与一半模型． 连接 同样可解． 30. 如下图所示，点 在线段 上，三角形 和三角形 都是正三角形，且 是线段 的中点， 是线段 的中点．若三角形 的面积为 ，三角形 （阴影部分）的面积是  ． 【答案】     【分析】    如下图所示，连接 ，那么 ，根据梯形蝴蝶模型，得到 31. 如图相邻两个格点间的距离是 ，则图中阴影三角形的面积为  ． 【答案】     【分析】    连接 、、． 则可根据格点面积公式，可以得到 的面积为： 的面积为： 的面积为： 所以 所以 32. 如图，在正方形 中，、 分别在 与 上，且 ，，连接 、，相交于点 ，过 作 、 得到两个正方形 和 ，设正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，则  ． 【答案】     【分析】    连接 、． 设正方形 边长为 ，则 所以， 因为 所以 由梯形蝴蝶定理，得 所以， 因为 所以 所以， 由于 底边 上的高即为正方形 的边长，所以 所以 则 33. 四边形 中，、 两条对角线交于 点，三角形 的面积 为 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积是 ，那么四边形 的面积 是多少？ 【答案】     【分析】    简答： 的面积是 四边形 的面积是 34. 在梯形 中，对角线 与 相交于 点，而三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ， 上有一点 ，而三角形 的面积为 ，则阴影部分三角形 的面积为多少？ 【答案】     【分析】    根据题意，由于四边形 是梯形，所以 根据蝴蝶模型， 所以 ，所以 同样，再根据蝴蝶模型， 所以 ，所以 35. 如图，面积为 平方厘米的正方形 中， 是 边上的三等分点，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    因为 是 边上的三等分点，所以 ，设 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道 份， 份， 份，因此正方形的面积为 份， 份，所以 所以 ． 36. 图中的四边形土地的总面积是 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是 公顷和 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积． 【答案】     公顷 【分析】    设另两块面积分别为 ，如图： 设 ，，则 ，， 代入，得： 所以面积最大的一个的面积为 公顷． 37. 如图，在长方形 中，，，，求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】     连接 ，，由 ， 可以推出 所以 为 份，则 为 份， 和 等底等高， 份，， 所以 ，， 份的面积为 ，阴影部分的面积等于 ． 38. 如图，梯形 中，三角形 、三角形 的面积分别是 和 ，求梯形 的面积． 【答案】     【分析】    由于四边形 是梯形，所以 ，根据蝴蝶模型， 代入已知面积值，可以求出 所以 39. 如图，梯形 中，、 的面积分别为 和 ，求梯形 的面积． 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶定理， 所以 ，， ． 40. 如图，四边形 中，、 两条对角线交于 点， 的面积为 ， 面积为 ， 的面积是 ，那么四边形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    简答：利用任意四边形中三角形的面积关系的结论，得三角形 的面积是： 所以四边形 的面积是 41. 如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，求四边形 的面积． 【答案】     【分析】     连接 ，，．所以，四边形 的面积是 ． 42. 如图，、 是正方形边上靠近点 和靠近点 的三等分点，求 和 ． 【答案】    ， 【分析】    设正方形的边长是 ， 43. 如下图所示，在梯形 中，，对角线 相交于点 ．已知 ，且梯形 的面积为 ．求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    根据蝴蝶模型．根据题意，， 则根据蝴蝶模型， 令 份，则梯形 共有： 所以 份为： 则三角形 的面积为 44. 如下图所示， 和 是两个正方形， 和 相交于 ，已知 等于 的三分之一，三角形 的面积等于 平方厘米．求五边形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 、，则四边形 构成一个梯形，根据蝴蝶模型，因为 的面积为 ，所以 的面积为 （蝴蝶翅膀）． 为 长度的一半，所以 的面积为 面积的一半，三角形 的面积为 ；同理 面积为 ，则大正方形 的面积为 ，所以大正方形的边长为 ，则小正方形 的边长为 ，所以三角形 的面积为 ．则五边形 的面积为：． 45. 如图，正方形 面积为 平方厘米， 是 边上的中点．求图中阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    因为 是 边上的中点，所以 ，根据梯形蝴蝶模型可以知道 设 份，则 份，所以正方形的面积为 份， 份，所以 ，所以 ． 46. 如下图所示，点 是平行四边形 的边 上的一点，且 ，四边形 为平行四边形， 与 交于点 ．若三角形 的面积与三角形 的面积之差为 ，求平行四边形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ，因为 ，所以 所以 令 ，则 ，， 所以 因为 ，所以 所以 所以 因为 所以 因为 所以 47. 图中四边形 的对角线 和 交于 点，如果 的面积是 平方厘米， 的面积是 平方厘米， 的面积是 平方厘 米．请问： 的面积是多少？ 【答案】     平方厘米 【分析】    因为 所以 48. 如图，正方形 和正方形 并排放置， 与 相交于 ，已知 厘米，则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    如图，连接 ，那么显然 与 同底等高，两者面积相等，我们容易知道四边形 是梯形，由蝴蝶模型可知 与 面积相等，那么阴影部分的面积恰好为正方形 的一半，即 平方厘米． 49. 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 ，那么阴影部分面积是多少？（圆周率取 ） 【答案】     【分析】    方法一：设小正方形的边长为 ，则三角形 与梯形 的面积均为 ．阴影部分为：大正方形 梯形 三角形 右上角不规则部分 大正方形 右上角不规则部分 圆．因此阴影部分面积为：． 方法二：连接 、，设 与 的交点为 ，由于四边形 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有 ，所以 50. 梯形 的对角线 与 交于点 ，已知梯形上底为 ，且三角形 的面积等于三角形 面积的 ，求三角形 与三角形 的面积之比． 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶模型， 可以求出 ，再根据梯形蝴蝶模型， 51. 如图所示，、 将长方形 分成 块，三角形 的面积 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米．问：四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ， 由于 与 平行的，所以四边形 是梯形， 根据蝴蝶模型， 代入已知部分，可得 ， 52. 如图，已知平行四边形 的面积为 ， 点是 上靠近 点的三等分点，求图中阴影部分的面积． 【答案】     【分析】     因为 ，所以 ，故设 所以 解得 ，． 53. 图中的四边形土地的总面积是 平方厘米，两条对角线把它分成了 个小三角形，其中 个小三角形的面积分别是 平方厘米和 平方厘米．那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    在 ， 中有 ，所以 ， 的面积比为 ．同理有 ， 的面积比为 ．所以有 ，所以有 与 的面积比为 ，，，最大的三角形面积是 ． 54. 如图所示，、 将长方形 分成 块， 的面积是 平方厘米， 的面积是 平方厘米．问：四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     厘米 【分析】     连接 ，根据梯形模型，可知三角形 的面积和三角形 的面积相等，即其面积也是 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 的面积为 所以长方形的面积为 四边形 的面积为 55. 如图，线段 与 垂直，已知 ，，那么图中阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】    解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看． 作辅助线 ，则图形关于 对称，有 且 设 的面积为 份，则 的面积为 份，直角三角形 的面积为 份．因为 而阴影部分的面积为 份，所以阴影部分的面积为 解法二：连接 、． 由于 所以 ，可知 根据梯形蝴蝶定理， 所以 即 又 所以 56. 如图，在平行四边形 中，，．求阴影面积与空白面积的比． 【答案】     【分析】    因为 ，，所以 因为 ，所以 ， 所以 同理可得， 因为 所以 所以阴影部分的面积是 ． ，所以阴影面积与空白面积的比是 ． 57. 如图，某公园的外轮廓是四边形 ，被对角线 、 分成四个部分， 面积为 平方千米， 面积为 平方千米， 的面积为 平方千米，公园由陆地面积是 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【答案】     平方千米 【分析】    应用蝴蝶模型 四边形 （公园）的面积是 人工湖的面积为 58. 下图中， 和 是两个正方形， 和 相交于 ，已知 等于 的三分之一，三角形 的面积等于 平方厘米，求五边形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    连接 、，由于 与 平行，可知四边形 构成一个梯形． 由于 面积为 平方厘米，且 等于 的三分之一，所以 等于 的 ，根据梯形蝴蝶定理，可知 的面积为 平方厘米， 的面积为 平方厘米， 的面积为 平方厘米． 那么正方形 的面积为 所以其边长为 厘米． 又 的面积为 所以 即正方形 的边长为 厘米．那么，五边形 的面积为： 59. 如图所示，梯形 的面积是 ，下底长是上底长的 倍，阴影三角形的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    上低与下底的长度比为 ，设 面积是 份，则 与 的面积均为 份， 的面积为 份，共有 份，梯形面积为 ，故一份所对应的面积为 ，则 的面积为 ． 60. 如图所示，四边形 是直角梯形，，，．求： （1）三角形 的面积； （2）梯形 的面积． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1） 的面积等于 的面积，即 （2）由于 的面积等于 则 的面积等于 由任意四边形模型可求得 的面积等于 所以梯形 的面积为 61. 如图所示， 是梯形， 面积是 ， 的面积是 ， 的面积是 ．那么阴影 面积是多少？ 【答案】     【分析】    根据梯形蝴蝶定理，可以得到 而 所以可得 并且 而 所以阴影 的面积是： 62. 下图中的正方形 的面积为 ， 是 边上的中点．求图中阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    令三角形 的面积为 份，则三角形 的面积为 份，三角形 的面积为 份，所以 ．则题目中所求阴影部分面积为：． 63. 如图，平行四边形 的对角线交于 点，、、、 的面积依次是 、、 和 ． 求：（1）求 的面积； （2）求 的面积． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）根据题意可知， 的面积为 ，那么 和 的面积都是 ，所以 的面积为 ； （2）由于 的面积为 ， 的面积为 ，所以 的面积为 ，根据蝴蝶模型， 所以 那么 64. 如图，边长为 的正方形 中，，，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ． 因为 ，，所以 因为 根据蝴蝶模型， 所以 所以 即三角形 的面积是 ． 65. 在三角形 中，，，求 ． 【答案】     【分析】    解法一：连接 ． ，可得 设 ，则 再根据燕尾定理， 所以 所以 解法二：可以用梯形蝴蝶定理来． 连接 ，把三角形 的面积看做“”，，而 的长占 的 ， 的长占 的 ， 来表示 的面积，所以 66. 如图，，，，，， 交 于 ，则三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接 ，，，． 67. 如图，梯形 的对角线相互垂直．三角形 的面积是 ， 的长是 ，求 的长． 【答案】     【分析】    ，，． 68. 如图， 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为 ， 的长是 ， 的长是 ．那么四边形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    因为连接 知道 和 的面积相等即为 ，又因为 ，所以 的面积为 根据四边形的对角线性质知道： 的面积为： 所以四边形 的面积为： 69. 如下图，四边形 中，对角线 和 交于 点，已知 ，并且 $\dfrac{\text{三角形 $ ABD $ 的面积}}{\text{三角形 $ CBD $ 的面积}}= \dfrac{3}{5}$，那么 的长是多少？ 【答案】     【分析】    根据蝴蝶定理，\[\dfrac{\text{三角形 $ABD$ 的面积}}{\text{三角形 $CBD$ 的面积}}= \dfrac{{AO}}{{CO}},\]所以 ，又 ，所以 ． 70. 如图，长方形 中，，，三角形 的面积为 平方厘米，求长方形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    连接 ，． 因为 ，，所以 因为 ， 所以 平方厘米，所以 平方厘米．因为 ，所以长方形 的面积是 平方厘米． 71. 如图， 是直角梯形，，那么梯形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    分别计算 的面积，再求和． 延长 交 于 点， 可得 所以 又因为 得到 所以 72. 如图，正六边形面积为 ，那么阴影部分面积为多少？ 【答案】     【分析】    连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶模型把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 ． 73. 如图，已知正方形 的边长为 厘米， 为 中点， 为 中点， 为 中点，求三角形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    设 与 的交点为 ，连接 、． 由蝴蝶定理可知 而 所以 故 由于 为 中点，所以 故 由蝴蝶定理可知 所以 那么 74. 如图，已知 是 中点， 是 的中点， 是 的中点．三角形 由 ① ～ ⑥ 这 部分组成，其中 ② 比 ⑤ 多 平方厘米．那么三角形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    因为 是 中点， 为 中点，有 且 平行于 ，则四边形 为梯形．在梯形 中有 ，，． 又已知 ，所以 ，，所以 ，而 ，所以 ，梯形 的面积为 ②、③、④、⑤ 四块图形的面积和，为 ． 有 与 的面积比为 平方与 平方的比，即为 ．所以 面积为梯形 面积的 ，即为 ． 因为 是 中点，所以 与 的面积相等，而 的面积为 、 的面积和，即为 ．三角形 的面积为 平方厘米． 75. 如图，每个小方格的边长都是 ，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    因为 ，且 ，所以 ，，． 76. 如图所示，在正方形 内，红色、绿色正方形的面积分别是 和 ，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由于黄色正方形的两个顶点分别在红色正方形和绿色正方形的中心，所以红色正方形与黄色正方形重合部分的面积为 绿色正方形与黄色正方形重合部分的面积为 黄色正方形可分为 部分，如右上图所示，除了与其它两个正方形重合的两个部分，另外两个部分的面积相等，设为 ．在其中可类似运用四边形中的蝴蝶定理，可得 所以 ． 所以黄色正方形的面积为 77. 梯形的下底是上底的 倍，三角形 的面积是 平方厘米，问三角形 的面积是多少？ 【答案】     平方厘米 【分析】    根据梯形蝴蝶模型，，， 所以 ． 78. 如图，， 将长方形 分成 块，红色三角形面积是 平方厘米，黄色三角形面积是 平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ，四边形 为梯形，则 的面积与黄色 的面积相等为 ． 所以 又因为 是长方形 的对角线， 所以 绿色四边形面积为 平方厘米． 79. 如图， 中 ，， 与 平行， 的面积是 平方厘米．那么 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    因为 与 平行，且 ，所以 ，所以 又因为 的面积是 平方厘米，所以 的面积是 平方厘米，由蝴蝶模型结论知 的面积是 平方厘米，所以 的面积是 平方厘米，又因为 ，所以 所以 的面积是 平方厘米． 80. 如图，等腰直角三角形 的斜边在等腰直角三角形 的斜边上，连接 、、，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    方法一：延长 交 于点 ，连接 、，应用燕尾模型， 得 再由蝴蝶模型，，所以 同理 ，而 所以 ，同理 ，所以 方法二：由于等腰直角三角形 的面积是 ，所以 ，而 所以等腰直角 的高为 所以 的面积是 81. 如图，在三角形 中，，，．连接 交 于 点，求 的值． 【答案】     【分析】    连接 、． 因为 ，所以 又因为 ，所以 因为 ，所以 又因为 ，所以 所以 82. 如图中四边形 的对角线 和 交于点 ，如果三角形 的面积是 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米．请问：三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    根据题意可得：\[\text{三角形 $BAD$ 与三角形 $BCD$ 的面积比}=AO:CO = 30:50 = 3:5,\]所以三角形 的面积为 ． 83. 如图所示，， 将长方形 分成4块， 的面积是 cm ， 的面积是 ．四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ，在右边的梯形 中，由梯形基本结论知：，所以 ，，又 ，所以 ，所以四边形 的面积是 平方厘米。 84. 如图，梯形 的上底 长为 厘米，下底 长为 厘米，而三角形 的面积为 平方厘米．则梯形 的面积为多少平方厘米？ 【答案】     【分析】     与 的面积比为 平方与 平方的比，即为 而 与 的面积相等为 ，又 因为 ，所以 则 而梯形 的面积为 、、、 的面积和，即为 即梯形 的面积为 平方厘米． 85. 长方形 中，对角线交于 点， 是 上一点，连接 、．如图得到三块阴影，已知阴影的面积之和是 平方厘米，长方形的长是 厘米，宽是 厘米．求四边形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形 的面积就等于 的面积． 这样阴影面积之和就变成了 和四边形 的面积之和． 前者面积是 后者面积是 即为所求． 86. 图中 的面积为 ，线段 的长度为 的 倍，求梯形 的面积． 【答案】     【分析】    在 中，因为 且 ，所以有 因为 和 等底等高，所以有 从而 在 中， 所以梯形面积： 87. 如图，已知正方形 的边长为 ， 是 边的中点， 是 边上的点，且 ， 与 相交于点 ，求 ． 【答案】     【分析】    方法一： 连接 ，延长 ， 两条线交于点 ，构造出两个沙漏，所以有 因此 ，根据题意有 ，再根据另一个沙漏有 所以 方法二： 连接 ，分别求 根据蝴蝶定理 所以 $