【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-5星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-蝴蝶模型-5星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 蝴蝶模型 C 1.了解蝴蝶模型及其公式 2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的几何知识 少考 知识提要 蝴蝶模型 · 任意四边形蝴蝶模型 （1） （2） · 梯形蝴蝶模型 （1） （2） （3） 精选例题 蝴蝶模型 1. 如图， 是一个四边形，、 分别是 、 的中点．如果 、 与 的面积分别是 、 和 ，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    连接 、、． 由于 是 的中点，所以 与 的面积相等，而 比 的面积大 ，所以 比 的面积大 ；又由于 是 的中点，所以 的面积与 的面积相等，那么 的面积比 的面积大 ，所以 的面积为 ． 假设 的面积为 ，则 的面积为 ．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知 的面积为 ， 的面积为 ． 要使这两个三角形的面积为整数， 可以为 ， 或 ． 由于 的面积为 面积的一半， 的面积为 面积的一半，所以 与 的面积之和为四边形 面积的一半，所以 与 的面积之和等于四边形 的面积，即： ，得 ． 将 、、 分别代入检验，只有 时等式成立，所以 的面积为7，、、 的面积分别为 、、． 四边形 的面积为 ． 小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的． 2. 下图中，四边形 都是边长为 的正方形，、、、 分别是 ，，， 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么， 的值等于  ． 【答案】     【分析】    左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接 ．设 与 的交点为 ． 左图中 为长方形，可知 的面积为长方形 面积的 ，所以三角形 的面积为 ．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为 ． 如上图所示，在右图中连接 、．设 、 的交点为 ． 可知 且 ．那么三角形 的面积为三角形 面积的 ，所以三角形 的面积为 ，梯形 的面积为 ． 在梯形 中，由于 ，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形 的面积为 ，那么四边形 的面积为 ．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 ． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 ，即 ，那么 ． 3. 如图，长方形 的面积是 ， 是 的三等分点，，则阴影部分的面积为  ． 【答案】     【分析】    如图，连接 ． 根据蝴蝶定理，，所以 ； ，所以 ． 又 ，，所以阴影部分面积为：． 4. 如图，在正方形 中，、 分别在 与 上，且 ，，连接 、，相交于点 ，过 作 、 得到两个正方形 和 ，设正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，则  ． 【答案】     【分析】    连接 、． 设正方形 边长为 ，则 所以， 因为 所以 由梯形蝴蝶定理，得 所以， 因为 所以 所以， 由于 底边 上的高即为正方形 的边长，所以 所以 则 5. 如图，在一个边长为 的正方形中，放入一个边长为 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶模型来解决一般情况． 解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为 ，因此空白处的总面积为 ，阴影部分的面积为 ． 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 ，下底都为 ，上底、下底之比为 ，根据梯形蝴蝶模型，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 ，阴影部分的面积占该梯形面积的 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 ，那么阴影部分的面积为 ． 6. 如图，在三角形 中，，，．连接 交 于 点，求 的值． 【答案】     【分析】    连接 、． 因为 ，所以 又因为 ，所以 因为 ，所以 又因为 ，所以 所以 7. 如图，边长为 的正方形 中，，，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    连接 ． 因为 ，，所以 因为 根据蝴蝶模型， 所以 所以 即三角形 的面积是 ． 8. 如图所示，在正方形 内，红色、绿色正方形的面积分别是 和 ，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由于黄色正方形的两个顶点分别在红色正方形和绿色正方形的中心，所以红色正方形与黄色正方形重合部分的面积为 绿色正方形与黄色正方形重合部分的面积为 黄色正方形可分为 部分，如右上图所示，除了与其它两个正方形重合的两个部分，另外两个部分的面积相等，设为 ．在其中可类似运用四边形中的蝴蝶定理，可得 所以 ． 所以黄色正方形的面积为 9. 如图，等腰直角三角形 的斜边在等腰直角三角形 的斜边上，连接 、、，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    方法一：延长 交 于点 ，连接 、，应用燕尾模型， 得 再由蝴蝶模型，，所以 同理 ，而 所以 ，同理 ，所以 方法二：由于等腰直角三角形 的面积是 ，所以 ，而 所以等腰直角 的高为 所以 的面积是 10. 如图，已知 是 中点， 是 的中点， 是 的中点．三角形 由 ① ～ ⑥ 这 部分组成，其中 ② 比 ⑤ 多 平方厘米．那么三角形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    因为 是 中点， 为 中点，有 且 平行于 ，则四边形 为梯形．在梯形 中有 ，，． 又已知 ，所以 ，，所以 ，而 ，所以 ，梯形 的面积为 ②、③、④、⑤ 四块图形的面积和，为 ． 有 与 的面积比为 平方与 平方的比，即为 ．所以 面积为梯形 面积的 ，即为 ． 因为 是 中点，所以 与 的面积相等，而 的面积为 、 的面积和，即为 ．三角形 的面积为 平方厘米． $