第三章 圆锥曲线的方程（培优必刷卷）-2021-2022学年高二数学上学期同步课堂单元测试（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学上学期同步课堂单元测试 （人教A版2019选择性必修第一册） 第三章 圆锥曲线的方程 培优必刷卷 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果. 【详解】 如图， 延长与交于点，则是的角平分线， 由可得与垂直， 可得为等腰三角形，故为的中点， 由于为的中点， 则为的中位线，故， 由于，所以， 所以， 问题转化为求的最值， 而的最小值为，的最大值为，即的值域为， 故当或时，取得最大值为 ， 当时，在轴上，此时与重合， 取得最小值为0，又由题意，最值取不到， 所以的取值范围是， 故选：A. 2．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】 利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案． 【详解】 设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：， 又，， 两式相减，可得：，， ． ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为6， 故选：C． 3．已知双曲线与轴交于两点，点，则△面积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意两点的坐标为， 因此， 当且仅当，即时等号成立．故最大值为. 4．已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 分析：由题意首先求得点A的坐标，结合离心率和三角形的面积得到关于a,b的方程组，求解方程组即可求得a,b的值，进一步可得双曲线的方程. 详解：由题意点A所在的渐近线为bx-ay=0， 设该渐近线的倾斜角为，则， 因为∠AOF=∠OAF，所以直线AF的倾斜角为， ， 联立方程组，解得，即， 所以. 因为曲线的离心率，，所以. 结合，得a=3，b=. 所以双曲线的方程为. 本题选择C选项. 5．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x 【答案】D 【分析】 由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得∠F1PF2＝，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可. 【详解】 由△PF1F2的外心M，知：， ∴在△中，，即，故∠F1PF2＝， 在△中，，而， ∴，即， ∴，而， ∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：． 故选：D． 6．抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足. 设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是 A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF， 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|， 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由余弦定理得， |AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab， 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab， 又∵ab≤ ∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2 得到|AB|≥（a+b）． ∴≤1， 即的最大值为1． 故选B． 7．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用抛物线的几何性质，求得的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为的形式.根据余弦函数的单调性可以求得的最大值. 【详解】 由题意得，准线，，，过作，垂足为，则由抛物线定义可知，于是 ，在上为减函数，当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，,故选C. 8．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为. 9．已知拋物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于、两点，且，为坐标原点，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是 A． B．