第一章 空间向量与立体几何（培优必刷卷）-2021-2022学年高二数学上学期同步课堂单元测试（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学上学期同步课堂单元测试 （人教A版2019选择性必修第一册） 第1章 空间向量与立体几何 培优必刷卷 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在四面体ABCD中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 以B为原点建立空间直角坐标系,根据关系写出各个点的坐标,利用平面和平面的法向量,表示出二面角的余弦值,即可求得的取值范围. 【详解】 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系: 因为为等边三角形，不妨设, 由于,所以 因为当时四点共面,不能构成空间四边形,所以 则,, 由空间向量的坐标运算可得 设平面的法向量为 则代入可得 令,则,所以 设平面的法向量为 则,代入可得 令,则,所以 二面角的大小为 则由图可知,二面角为锐二面角 所以 因为 所以 即 所以 故选:C 2．正三棱锥中，，M为棱PA上的动点，令为BM与AC所成的角，为BM与底面ABC所成的角，为二面角所成的角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 依题意建立空间直角坐标系，不妨令为的中点，利用空间向量法求异面直线的角与线面角； 【详解】 解：设正三棱锥的底面边长为6，高为，如图所示建立空间直角坐标系，不妨令为的中点， 则，，，，，，，，，，所以， 过作交于点，所以，即为BM与底面ABC所成的角，所以，所以，所以 显然面的法向量可为，设面的法向量为，所以令，则，，即， 所以，当时，；当时，；当时，，故CD不成立； 故选：B 3．如图所示，在正方体中，分别在上，且，.则（ ） A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 【答案】B 【分析】 延长与交于点，连接与交于点，连接，证明，，，得到答案. 【详解】 如图所示：延长与交于点，连接与交于点，连接. ，根据知，为中点. 与交于点，，故，故. 易知平面，平面，故，同理. 故选：. 4．已知梯形如下图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为四边形为正方形，且平面平面，所以两两垂直，且，所以建立空间直角坐标系（如图所示），又因为，，所以， 则,，设平面的法向量为，则由得，取，平面的法向量为，则由得，取， 因为平面平面，所以，解得.故选C. 5．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ） A．②④ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】B 【分析】 求出判断①不正确；根据 判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确. 【详解】 由，，，，2，，，2，，知： 在①中，，故①不正确； 在②中，，，，故②正确； 在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确； 在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确； 综上可得：②③正确． 故选：B． 6．在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值. 【详解】 设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 如下图所示： 则点、、、、， ，，， 设平面的法向量为， 由，得，取，则，，， 设直线与平面所成角为， 则，则. 故选：C. 7．空间四边形的各边和对角线均相等，是的中点，那么（ ）. A． B． C． D．与的大小不能比较 【答案】C 【分析】 空间四边形ABCD的各边及对角线均相等设为a，运用等边三角形的性质，可得，取BD的中点F，连接AF，EF，由余弦定理和向量的数量积的定义，计算可得，即可得到结论． 【详解】 空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝a，EF＝a， 由余弦定理可得cos∠AEF＝，可得与夹角的余弦值为，则，所以. 故选：C． 8．已知，、，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值. 【详解】 设向量与的夹角为， ，， 则，所以，，故选D. 9．已知，，若，，且平面，则实数、、分别为（ ） A． B． C． D