专题04 立体几何综合-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（文）解答题分类汇编

专题4、立体几何综合 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 1. 如图，四棱锥 的底面是矩形，底面 ，M为 的中点，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由 底面 可得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ； （2）由（1）可知， ，由平面知识可知， ，由相似比可求出 ，再根据四棱锥 体积公式即可求出． 【详解】（1）因为 底面 ， 平面 ， 所以 ， 又 ， ， 所以 平面 ， 而 平面 ， 所以平面 平面 ． （2）由（1）可知， 平面 ，所以 ， 从而 ，设 ， ， 则 ，即 ，解得 ，所以 ． 因为 底面 ， 故四棱锥 的体积为 ． 【点睛】本题第一问解题关键是找到平面 或平面 的垂线，结合题目条件 ，所以垂线可以从 中产生，稍加分析即可判断出 平面 ，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出 ，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积． 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点， . （1）求三棱锥 的体积； （2）已知D为棱 上的点，证明： . 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积； (2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】(1)如图所示，连结AF， 由题意可得： ， 由于AB⊥BB1，BC⊥AB， ，故 平面 ， 而 平面 ，故 ， 从而有 ， 从而 ， 则 ， 为等腰直角三角形， ， . (2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱 的中点 ，连结 ， 正方形 中， 为中点，则 ， 又 ， 故 平面 ，而 平面 ， 从而 EMBED Equation.DSMT4 . 【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化. 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点. （1）证明： ； （2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD， 因此AO⊥平面BCD， 因为 平面BCD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD 所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC 因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF 则 为二面角E-BC-D的平面角, 因为 , 为正三角形,所以 为直角三角形 因为 , 从而EF=FM= 平面BCD, 所以 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 【2021年浙江卷】 4. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，M，N分别为 的中点， . （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）要证 ，可证 ，由题意可得， ，易证 ，从而 平面 ，即有 ，从而得证； （2）取 中点 ，根据题意可知， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量 和平面 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出． 【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ， 所以 ， EMBED Equation.DSMT4 ．由题意 且 ， 平面 ，而 平面 ，所以 ，又 ，所以 ． （2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为 ，所以 ，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则 , 又 为 中点，所以 . 由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量 从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 ，可