专题01 数列综合-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（文）解答题分类汇编

专题1、数列综合 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 1.设 是首项为1的等比数列，数列满足 ．已知 ， ， 成等差数列． （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可； 利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可. 【详解】因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ， 所以 . （2）证明：由（1）可得 ， ，① ，② ① ②得 ， 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 . 【点晴】本题主要考查数列求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2.记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，证明： 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列 等差数列，设公差为 EMBED Equation.DSMT4 ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 当 时， ，满足 ， ∴ 的通项公式为 ， ∴ ∴ 是等差数列. 【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况. 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3. 已知数列 满足 ， （1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； （2）求 的前20项和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）根据题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项. （2）根据题设中的递推关系可得 的前 项和为 可化为 ，利用（1）的结果可求 . 【详解】（1）由题设可得 又 ， ， 故 ，即 ，即 所以 为等差数列，故 . （2）设 的前 项和为 ，则 ， 因为 ， 所以 . 【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 【2021年浙江卷】 4. 已知数列 的前n项和为 ， ，且 . （1）求数列 的通项； （2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即可得出结论； （2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分类讨论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当 时， ， ， 当 时，由 ①， 得 ②，① ②得 ， 又 是首项为 ，公比为 的等比数列， ； （2）由 ，得 ， 所以 ， ， 两式相减得 ， 所以 ， 由 得 恒成立， 即 恒成立， 时不等式恒成立； 时， ，得 ； 时， ，得 ； 所以 . 【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，分离参数不等式要变号. 【2020年】 5.（2020·新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足 ， ． （1）求{an}的通项公式； （2）记 为数列{log3an}的前n项和．若 ，求m． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设等比数列 的公比为 ， 根据题意，有 ，解得 ， 所以 ； （2）令 ， 所以 ， 根据 ，可得 ， 整理得 ，因为 ，所以 ， 6.（2020·北京卷）已知 是无穷数列．给出两个性质： ①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ； ②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ． (Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 (Ⅰ) 不具有性质①； (Ⅱ) 具有性质①； 具有性质②； (Ⅲ)假设数列中的项数均为正数： 首先利用性质②：取 ，此时 ， 由数列的单调性可知 ， 而 ，故 ， 此时必有 ，即 ， 即 成等比数列，不妨设 ， 然后利用性质①：取 ，则 ， 即数列中必然存在一项的值为 ，下面我们来证明 ， 否则，由数列的单调性可知 ， 在性质②中，取 ，则 ，从而 ， 与前面类似的可知则存在 ，