《6.3正方形的判定与性质》期末复习培优提升训练2020-2021学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2021年鲁教版八年级数学下册《6.3正方形》期末复习培优提升训练（附答案） 1．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　） A．1 B． C．2 D．2 2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCH的周长为（　　） A．2﹣4 B．2 C．2+4 D．2+4 3．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为6、8，H为线段DF的中点，则BH的长为（　　） A．6 B．8 C．6或8 D．5 4．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝AD，则∠ACE的度数为（　　） A．22.5° B．27.5° C．30° D．35° 5．矩形各角的角平分线交成的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．下列说法不正确的是（　　） A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．四条边都相等的四边形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　） A． B．2 C． D．2 8．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为（　　） A． B．5 C．5 D． 9．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有　 　个． 10．如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5和3，连接DG、BG，点E恰好在DG上，则BG的长为　 　． 11．如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD，BC交于点P，Q，则PE的长为　 　． 12．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是　 　． 13．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有：　 　（请填上序号）． 14．如图正方形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，点F在AE上，过F作MN⊥AE，交边AB、DC于点M、N，联结FC，若△FNC是以CN为底边的等腰三角形，则FC＝　 ． 15．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 设菱形相邻两个内角的度数分别为m、n． （1）若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为70°，则“接近度”＝　 　； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m≤n），则菱形的“接近度”＝　 　时，菱形就是正方形． 16．如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意一点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是　 　． 17．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，BD与CE交于F点．试判断AF与BE有何位置关系，并说明你的理由． 18．如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形． 19．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若AD＝AE，求证：AB＝AG； （3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长． 20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数． 参考答案 1．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°， ∴∠DON+∠CON＝90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∴∠DON+∠DOM＝90°， ∴∠DOM＝∠CON， 在△DOM和△CON中， ， ∴△DOM≌△CON（ASA）， ∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积， ∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积， ∴△DOC的面积是1， ∴正方形ABCD的面积是4， ∵AB2＝4， ∴AB＝2， 故选：C． 2．解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝CD＝AB＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∴S正方形ABCD＝16， ∵S阴影：S正方形ABCD＝3：4， ∴S阴影＝＝12， ∴S空白＝16﹣12＝4， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴S△BCH＝S四边形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF， ∵∠DCF+∠HCB＝90°， ∴∠HBC+∠HCB＝90°， ∴∠BHC＝90°， ∴BH2+CH2＝BC2＝16，BH•CH＝4， ∴（BH+CH）2＝BH2+CH2+2BH•CH＝16+2×4＝24， ∴BH+CH＝， ∴△BCH的周长为BH+CH+BC＝， 故选：D． 3．解：如图，连接BD、BF， ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝6，BE＝EF＝8，∠A＝∠E＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠EBF＝∠FBG＝45°， ∴∠DBF＝90°， ∴BD＝＝6，BF＝＝8， 在Rt△BDF中， ∴DF＝＝＝10， ∵H为线段DF的中点， ∴BH＝DF＝5， 故选：D． 4．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AD，∠DBC＝45°， ∵BE＝AD， ∴BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°， ∵AC⊥BD， ∴∠COE＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣67.5°＝22.5°． 故选：A． 5．解：如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°， ∵AM、DM、CP、BP分别平分∠BAD、∠ADC、∠DCB、∠ABC， ∴∠BAM＝∠DAM＝∠ADM＝∠CDM＝∠DCP＝∠ABP＝45°， ∴∠AQB＝∠PQM＝90°，∠AMD＝90°，∠CND＝∠PNM＝90°， ∴四边形PQMN是矩形， 故选：B． 6．解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，故A选项不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，故C选项符合题意； D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项不符合题意； 故选：C． 7．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM， ∵M为DE的中点， ∴ME＝MD， 在△AEM和GDM中， ， ∴△AEM≌△GDM（AAS）， ∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD， ∴CG＝CD＝2， ∵点N为AF的中点， ∴MN＝FG， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FG＝＝2， ∴MN＝， 故选：C． 8．解：如图所示，连接CN、DM、AC， ∵点C关于直线DE的对称点为M， ∴CN＝MN，CD＝DM， ∴∠NCM＝∠NMC，∠DCM＝∠DMC， ∴∠DCN＝∠DMN， 在正方形ABCD中，AD＝CD， ∴AD＝DM， ∴∠DAM＝∠DMN， ∴∠DCN＝∠DAM， ∵∠ACN+∠CAN＝∠DCA﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM＝∠DCA+∠CAD＝90°， ∴∠ANC＝180°﹣90°＝90°， ∴△ACN是直角三角形， ∴AC＝＝＝5， ∴正方形ABCD的边长＝AC＝． 故选：D． 9．解：从内到外的正方形依次编号为1，2，3，……，n，则有： 正方形的序号 正方形四边上的整点的个数 1 2×4﹣4＝4×1； 2 3×4﹣4＝8＝4×2； 3 4×4﹣4＝12＝4×3； ………… n 4（n+1）﹣4＝4n． 由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整 点个数共有4×20＝80． 故答案为80． 10．解：过点A作AH⊥DG于点H，连接BE， 如图所示： ∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形， ∴AG＝AE，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，∠DGA＝∠GEA＝45°， ∴∠GAE+∠EAD＝∠BAD+∠EAD， ∴∠GAD＝∠EAB， 在△ADG和△ABE中， ∵， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴∠DGA＝∠BEA＝45°，DG＝BE， ∴∠BEG＝∠BEA+∠AEG＝45°+45°＝90°， ∵AG＝3，∠AGE＝45°， ∴GH＝AH＝AGsin45°＝3，GE＝6， 在Rt△AHD中， ∵AD＝5，AH＝3， ∴DH＝＝4， ∴DG＝GH+DH＝7， ∴BE＝7， 在Rt△BEG中， ∵BE＝7，GE＝6， ∴BG＝＝， 故答案为：． 11．解：连接AE， ∵M为AB的中点，△MBE为等边三角形， ∴MA＝MB＝ME， ∴△ABE为直角三角形， ∵正方形ABCD的边长为6， ∴BE＝AB＝＝3， ∴AE＝＝＝3， ∵△MBE为等边三角形， ∴∠BME＝60°， 又∵MA＝ME， ∴∠MAE＝∠MEA＝∠BME＝30°， ∴∠EAP＝∠BAD﹣∠MAE＝90°﹣30°＝60°， ∠AEP＝∠MEP﹣∠MEA＝90°﹣30°＝60°， ∴△AEP为等边三角形， ∴PE＝AE＝3， 故答案为：3． 12．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝（180°﹣∠BAE）＝15°， 故答案为：15°． 13．解：∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE， 而AB＝DC，∠BAE＝∠CDE， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE＝∠DCE， 故①正确； ∵DH＝DH，AD＝CD，∠ADH＝∠CDH， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠EAG＝∠DCE， 而∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠EAG+∠AEB＝90°， ∴AG⊥BE， 故②正确； ∵△CDE和△BDE同底等高， ∴S△CDE＝S△BDE， 而S△CDE﹣S△EHD＝S△BDE﹣S△EHD， ∴S△BHE＝S△CHD， 故③正确； ∵△ADH≌△CDH， ∴AH＝CH， 而AB＝CB，∠EAG＝∠DCE， ∴∠HAB＝∠HCB， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴∠AHB＝∠CHB， 而∠EHD＝∠CHB， ∴∠AHB＝∠EHD， 故④正确， 故答案为：①②③④． 14．解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H， ∵ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，AB∥CD， ∴∠1＝∠A′， 在△ABE和△A′CE中， ， ∴△ABE≌△A′CE（AAS）， ∴AB＝A′C＝4， ∵E为边BC的中点， ∴BE＝EC＝BC＝2， ∴AE＝， ∵AE⊥MN， ∴∠A′FN＝90°， ∴∠A′+∠2＝90°， ∵FN＝FC，FH⊥CN， ∴NH＝CH＝CN， 设NH＝x，则NC＝2x， ∴A′N＝A′C+NC＝4+2x， ∴FN＝x， ∴x＝， ∴FC＝FN＝x＝， 故答案为：． 15．解：（1）若菱形的一个内角为70°， ∴该菱形的相邻的另一内角的度数110°， ∴“接近度”等于|110﹣70|＝40°； （2）当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度， 则菱形是正方形； 故答案为：40°；1． 16．解：如图，过点E作EM⊥AB于M，连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝45°， ∴∠AEM＝90°﹣∠CAM＝45°， ∴AM＝EM， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∵AB＝AE＝2， ∴EM＝AE•sin45°＝2×＝， ∵S△ABE＝S△AEF+S△ABF， ∴S△ABE＝AB•EM＝AE•FG+AB•FH， ∴AB•EM＝AB（FG+FH）， ∴EM＝FG+FH＝， 故答案为． 17．解：假设AF⊥BE． ∵AD＝CD，DF＝DF，∠ADF＝∠CDF， ∴△ADF≌△CDF， ∴∠DAF＝∠DCF， 又∵AE＝ED，AB＝CD，∠BAE＝∠CDE， ∴∠ABE＝∠DCE， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠AEB＝90° ∴∠EAG+∠AEB＝90°， ∴AF⊥BE． 18．证明：∵四边形ABCD是正方形，DE＝AD， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴四边形BCED为平行四边形， ∴∠1＝∠4． 又∵BD＝FD， ∴∠1＝∠2＝∠3＝×45°，∠3＝∠4＝×45°， ∴BC＝GC＝CD． 因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG＝45°， ∴∠CDG＝（180°﹣45°）＝， 又∵∠GHD＝90°﹣∠3＝90°﹣＝， ∴∠HDG＝∠GHD， 从而GH＝GD，即△GHD是等腰三角形． 19．（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠BAF＝∠ABE＝90°， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AE平分∠BAD， ∴EF＝EB， ∴四边形ABEF是正方形； （2）∵AE平分∠BAD， ∴∠DAG＝∠BAE， 在△AGD和△ABE中，， ∴△AGD≌△ABE（AAS）， ∴AB＝AG； （3）∵四边形ABEF是正方形， ∴AB＝AF＝1， ∵△AGD≌△ABE， ∴DG＝AB＝AF＝AG＝1， ∵AD＝AE， ∴AD﹣AF＝AE﹣AG， 即DF＝EG， 在△DFO和△EGO中，， ∴△DFO≌△EGO（AAS）， ∴FO＝GO，FD＝EG ∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°， ∴DF＝FO＝OG＝EG， ∴DO＝OF＝OG， ∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1， ∴OG＝＝﹣1， ∴OD＝（﹣1）＝2﹣． 20．证明：过E点作EH垂直AC交AC于H，连接BD，交AC于O点， 在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC＝BD，OB＝BD＝AC， 又∵四边形AEFC是菱形， ∴AC＝CF，AC∥EF， ∵EH⊥AC， ∴∠BOH＝∠OHE＝∠OBE＝90°， ∴四边形BEHO是矩形， ∴EH＝OB， ∴EH＝AC＝AE， 在直角三角形AHE中， 故∠EAH＝30°，即∠EAB＝∠CAB﹣∠EAH＝45°﹣30°＝15°． $