《6.1菱形的判定与性质》期末复习培优提升训练2020-2021学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2021年鲁教版八年级数学下册《6.1菱形》期末复习培优提升训练（附答案） 1．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（　　） A．8 B．4 C．2 D．4 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（　　） A．5 B． C． D． 3．下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形菱形 B．五边形的内角和为720° C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．三角形的外角和为360° 4．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 6．如图，菱形中，对角线、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的面积为24，OA＝3，则OE的长等于（　　） A． B． C．5 D． 7．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，则∠1＝（　　） A．30° B．25° C．60° D．15° 8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　） A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC 9．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（　　） A．∠AOB＝60° B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AB⊥BC 11．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 12．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（　　） A．100° B．80° C．60° D．40° 13．若菱形的边长为2，较长的一条对角线长为2，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．5：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1 14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　） A． B．3 C． D． 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．5 16．图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，在对角线AC上截取AE＝AB，连接BE，DE，可将菱形分割为“风筝”（凸四边形ABED）和“飞镖”（凹四边形BCDE）两部分，则图2中的α＝　 　°． 17．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，∠A＝∠E，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是　 　cm2． 18．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　 　． 19．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于　 　． 20．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是　 　． 21．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2，则AB的长为　 　． 22．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． 23．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由． 24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长． 25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长． 26．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，点B、E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝DC． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形， （2）若∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，当AF＝　 　时，四边形BCEF是菱形． 27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求ED的长． 28．如图，已知平行四边形ABCD．过A作AM⊥BC于点M．交BD于点E，过C作CN∥AM交AD于点N，交BD于点F，连接AF、CE． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）当四边形AECF为菱形，M点为BC的中点，且BC＝3时，求CF的长． 29．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF． （1）求证：四边形EFCD是菱形； （2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，求EF的长和菱形EFCD的面积． 30．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN． （1）求证：四边形EMFN是平行四边形； （2）若AB⊥AC，求证：四边形EMFN是菱形． 参考答案 1．解：∵A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，）， ∴OB＝，OA＝3， ∴AB＝＝＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∴菱形ABCD的周长等于＝4×2＝8， 故选：A． 2．解：在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8， ∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD， ∴AB＝＝＝5， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF， 即×6×8＝5EF， ∴EF＝． 故选：C． 3．解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形菱形， ∴选项A不符合题意； B、∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴选项B不符合题意； C、∵一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形， ∴选项C不符合题意； D、∵三角形的外角和为360°， ∴选项D符合题意； 故选：D． 4．解：设另一条对角线长为xcm， 则×6•x＝12， 解得x＝4． 故选：B． 5．解：如图， 在菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠ABE＝60°，AC⊥BD，AB＝AD，AE＝BE，DE＝BE， ∴△ADB是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD， ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB＝4， ∴AD＝BD＝4， ∴BE＝DE＝2， ∴AE＝＝＝2， 故可得AC＝2AE＝4． 故选：A． 6．解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OA＝3， ∴AC＝2AO＝6， ∵菱形ABCD的面积为24， ∴＝24， ∴BD＝8，DO＝4， 又∵AC⊥BD， ∴AD＝＝＝5， 又∵E为AD边中点， ∴OE＝AD＝， 故选：A． 7．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠B＝∠D＝120°， ∴∠1＝30°， 故选：A． 8．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AO＝BO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠ABC， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 9．解：∵E、F分别是AC、AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴BC＝2EF＝2×3＝6， ∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24． 故选：A． 10．解：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， A、∵∠AOB＝60°， ∴不能得出四边形ABCD是菱形；选项A不符合题意； B、∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故选项B符合题意； C、∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 11．解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确； ②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误； ③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确； D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误． 故选：A． 12．解：连接BF， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝80°， ∴∠DAC＝40°，∠ADC＝100°，AC⊥BD，DO＝BO， ∴BF＝DF， ∵EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠ADF＝40°， ∴∠CDF＝60°， 故选：C． 13．解：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝2，AO＝CO，BO＝DO＝，AC⊥BD，AD∥BC， ∴AO＝＝＝1， ∴AC＝2， ∴AB＝AC＝BC＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， ∴两邻角的度数比为2：1， 故选：D． 14．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC， ∵OA＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∵S菱形ABCD＝24， ∴8×BD＝24， 解得：BD＝6， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， ∵DO＝BO， ∴OH＝BD＝6＝3， 故选：B． 15．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE． 又∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO＝＝＝2， ∴BD＝4， ∴四边形ABCD的面积＝＝4， 故选：A． 16．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝72°， ∴∠DAC＝∠BAC＝36°，AD＝AB， ∵AE＝AB＝AD， ∴∠DEA＝72°＝∠AEB， ∴∠α＝72°+72°＝144°， 故答案为144． 17．解：如图，连接FH， ∵四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是菱形，∠A＝∠E， ∴∠ADC＝∠EFG，∠BDC＝∠ADC＝∠EFH＝∠EFG，△BDC的面积＝×S菱形ABCD＝4.5（cm2）， ∴BD∥FH， ∴△BDH的面积＝△BDF的面积， ∴△BDH的面积＝S△BDC+S△BCF＝8.5（cm2）， 故答案为8.5． 18．解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m， ∵A（0，4），B（8，0）， ∴OA＝4，OB＝8， ∵四边形ABCD为菱形， ∴CA＝AD＝BC，AD∥BC， ∴CA＝CB＝8﹣m， 在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5， ∴D（5，4）； 当AB为菱形的边时，如图2， AB＝＝4， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC， ∴D（4，4）， 综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）． 故答案为（5，4）或（4，4）． 19．解：连接OP，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6， ∴BC＝＝＝10， ∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD， ∴四边形OEPF是矩形， ∴FE＝OP， ∵当OP⊥BC时，OP有最小值， 此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP， ∴OP＝＝4.8， ∴EF的最小值为4.8， 故答案为：4.8． 20．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝65°， ∵DH⊥AB，BO＝DO， ∴HO＝DO， ∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°， 故答案为25°． 21．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM， ∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°， ∴AD∥BC， ∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH， ∵点G为HD的中点， ∴HG＝DG， ∵∠MGD＝∠CGH， ∴△MGD≌△CGH（ASA）， ∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD， ∴点G为MC的中点，点M为AD的中点， ∵F，G分别为CE和CM的中点， ∴FG是△CEM的中位线， ∴FG＝EM， ∴EM＝2FG＝4， ∵E，M分别为AB和AD的中点， ∴AE＝AM， ∵∠A＝120°， ∴EM＝AE＝4， ∴AE＝4， ∴AB＝2AE＝8． 故答案为：8． 22．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，BE∥DF， ∴∠E＝∠F， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF； （2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF，DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵△AOE≌△COF， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形． 23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD． ∵点E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE＝DE＝AD，BF＝FC＝BC． ∴AE＝CF． 在△AEB与△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）； （2）解：当△ABD满足∠ABD＝90°，四边形EBFD是菱形，理由如下： 由（1）得：BF＝DE，BF∥DE， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵∠ABD＝90°，点E是AD的中点， ∴BE＝AD＝DE， ∴平行四边形EBFD是菱形． 24．（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝AC＝OA＝OC， ∵BD＝4， ∴OB＝BD＝2， 在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2， ∴OA＝＝6， ∴OE＝OA＝6． 25．解：（1）∵AC平分∠BAD，AB∥CD． ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC． ∴∠DAC＝∠DCA． ∴AD＝DC． 又∵AB∥CD，AB＝AD． ∴AB∥CD且AB＝CD ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB＝AD． ∴四边形ABCD是菱形． （2）连接BD，交AC于点O，如图： ∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24． ∴CD＝13，AO＝CO＝12． ∵点E、F分别是边CD、BC的中点． ∴EF∥BD（中位线）． ∵AC、BD是菱形的对角线． ∴AC⊥BD，OB＝OD． 又∵AB∥CD，EF∥BD． ∴DE∥BG，BD∥EG． ∴四边形BDEG是平行四边形． ∴BD＝EG． 在△COD中． ∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12． ∴． ∴EG＝BD＝10． 26．（1）证明：∵点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE， ∴∠BAF＝∠EDC， 在△AFB和△DCE中， ， ∴△AFB≌△DCE（SAS）， ∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE， ∴∠BFC＝∠ECF， ∴FB∥CE， 又∵FB＝CE， ∴四边形BCEF是平行四边形； （2）解：连接BE，交CF于点G，如图所示： ∵四边形BCEF是平行四边形， ∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形， ∴FG＝CG， ∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝＝＝10， ∴FG＝CG＝， ∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝． 故答案为：． 27．解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD， ∴AB＝AD， 又∵BA＝BC， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD为菱形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵DE∥AC， ∴DE⊥BD， ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴CE＝AD＝BC＝5， ∴BE＝BC+CE＝10， 在Rt△BDE中，由勾股定理得： DE＝＝6． 28．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠CBD， 又∵AM⊥BC， ∴AM⊥AD； ∵CN⊥AD， ∵AM∥CN， ∴AE∥CF； 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）如图，连接AC交BF于点O， 当四边形AECF为菱形时， 则AC与EF互相垂直平分， ∵BO＝OD， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴▱ABCD是菱形， ∴AB＝BC； ∵M是BC的中点，AM⊥BC， ∴AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30°， ∴BC＝CF＝3， ∴CF＝． 29．证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴DE＝CF＝CD， 又AD∥BC， ∴四边形EFCD是平行四边形， 又∵CD＝DE， ∴四边形EFCD是菱形； （2）如图，过点F作FH⊥AD于H， ∵四边形EFCD是菱形， ∴DE＝EF＝AE， ∵∠DEF＝60°， ∴∠EFH＝30°， ∴EH＝EF，FH＝EH， ∴AH＝AE+EH＝3EH， ∵AF2＝AH2+HF2， ∴12＝9EH2+3EH2， ∴EH＝1， ∴EF＝2＝DE，HF＝， ∴菱形EFCD的面积＝2×＝2， 故答案为：2，． 30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAM＝∠FCN， ∵E、F分别为AD、BC的中点， ∴AE＝DE＝BF＝CF， 在△AEM和△CFN中， ， ∴△AEM≌△CFN（SAS）， ∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF， ∴∠EMN＝∠FNM， ∴EM∥FN， ∴四边形EMFN是平行四边形； （2）连接EF交AC于O，如图所示： 由（1）得：AE∥BF，AE＝BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∴AB∥EF， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠COF＝∠BAC＝90°， ∴EF⊥MN， ∴四边形EMFN是菱形． $