1.4 空间向量的应用-2021-2022学年高二数学同步速效提升练（人教A版2019选择性必修第一册）【学科网名师堂】

1.4空间向量的应用 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．如图，在棱长为 的正方体中，点 是平面 内一个动点，且满足 ，则直线 与直线 所成角的取值范围为（ ）(参考数据： ) A． B． C． D． 2．直三棱柱 中，若 ， ， 是 中点，过 作这个三棱柱的截面，当截面与平面 所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（ ） A．2 B． C． D． 3．如图，在菱形 中， ，线段 ， 的中点分别为 ， ，现将 沿对角线 翻折，则异面直线 与 所成的角的取值范围是 A． B． C． D． 4．如图，边长为4正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，将△AED，△DCF沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（　　） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 二、多项选择题（共2小题，每小题5分，共10分） 6．如图，在平行四边形 中， ， ， ，沿对角线 将 折起到 的位置，使得平面 平面 ，下列说法正确的有（ ） A．平面 平面 B．三棱锥 四个面都是直角三角形 C． 与 所成角的余弦值为 D．过 的平面与 交于 ，则 面积的最小值为 7．如图四棱锥 ，平面 平面 ，侧面 是边长为 的正三角形，底面 为矩形， ，点 是 的中点，则下列结论正确的是（ ） A． 平面 B． 与平面 所成角的余弦值为 C．三棱锥 的体积为 D．异面直线 与 所成的角的余弦值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 8．三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， ，点Q为平面ABC内的动点，且满足 ，记直线PQ与直线AB的所成角为 ，则 的取值范围为___________. 9．正四棱柱 中， ， .若 是侧面 内的动点，且 ，则 与平面 所成角的正切值的最大值为___________. 10．在直四棱柱 中，底面是边长为 的菱形， ， ，过点 与直线 垂直的平面交直线 于点 ，则三棱锥 的外接球的表面积为____. 四、解答题（共2小题，每小题15分，共30分） 11．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. （1）求证：直线l⊥平面PAC； （2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF､直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由. 12．如图1，菱形 中 ，动点 ， 在边 ， 上(不含端点)，且存在实数 使 ，沿 将 向上折起得到 ，使得平面 平面 ，如图2所示. （1）若 ，设三棱锥 和四棱锥 的体积分别为 ， ，求 ； （2）试讨论，当点 的位置变化时，二面角 是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 1.4空间向量的应用 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．如图，在棱长为 的正方体中，点 是平面 内一个动点，且满足 ，则直线 与直线 所成角的取值范围为（ ）(参考数据： ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先以点 为原点建立空间直角坐标系，证明 平面 ，并求 ，然后将异面直线 与 所成的角，转化为 与 所成的角，再如图建立第二个坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角的余弦值，再求角的范围. 【详解】 如图，建立空间直接坐标系，连结 ，交平面 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 根据等体积转化可知 ， 即 ，解得： ， ， , ， 异面直线 与 所成的角，转化为 与 所成的角， 如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取 的中点 ，过点 作 ，则以点 为原点， 为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ， ， ， ， ， ， , ， 即 ， ， 即 ，即 ， ， 因为异面直线所成的角是锐角，并设为 ，则 ， ， ， 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是利用空间直角坐标系，解决异面直线所成的角，关键是如何建立坐标系，解决问题，本题建立两个坐标系，目的是方便解决问题. 2．直三棱柱 中，若 ， ， 是 中点，过 作这个三棱柱的截面，当截面与平面 所成的锐