专题10 统计与概率大题解题模板-2020-2021学年高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）

专题10 统计与概率大题解题模板 一、频率分布直方图 1、频率分布直方图的性质： (1)小矩形的面积=组距×频率/组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率。这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小； (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于 ； (3)频数/相应的频率=样本容量。 2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性。 3、频率分布直方图中的纵坐标为 ，而不是频率值。 例1-1．某城市 户居民月平均用电量(单位：度)，以 、 、 、 、 、 、 分组的频率分布直方图如图。 (1)求直方图中 的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为 、 、 、 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？ 【解析】(1)由 得： ，∴直方图中 的值是 ； (2)月平均用电量的众数是 ， ∵ ， ∴月平均用电量的中位数在 内，设中位数为 ， 由 得： ， ∴月平均用电量的中位数是 ； (3)月平均用电量为 的用户有 户， 月平均用电量为 的用户有 户， 月平均用电量为 的用户有 户， 月平均用电量为 的用户有 户， 抽取比例 ， ∴月平均用电量在 的用户中应抽取 户。 二、茎叶图 1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶。 2、利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑。 例2-1．某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ； 乙： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 。 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较。 【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示： 从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的， 中位数是 ；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是 ， 乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好。 三、散点图 1、两个变量的关系 分类 函数关系 相关关系 特征 两变量关系——确定 两变量关系——带有随机性 2、散点图：将样本中 个数据点 ( ， ，…， )描在平面直角坐标系中得到的图形。 3、正相关与负相关： (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。 (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。 4、最小二乘法：设 、 的一组观察值为 ( ， ，…， )，且回归直线方程为 。当 取值 ( ， ，…， )时， 的观察值为 ，差 ( ， ，…， )刻画了实际观察值 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即 作为总离差，并使之达到最小。这样，回归直线就是所有直线中 取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法。 5、回归直线方程的系数计算公式 回归直线方程 回归系数 系数 的计算公式 方程或公式 上方加记号 “^”的意义 区分 的估计值 与实际值 、 上方加“^”表示由观察值按 最小二乘法求得的估计值 例3-1．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验，收集数据如下： 零件数 (个) 加工时间 (分) (1) 与 是否具有线性相关关系？ (2)如果 与 具有线性相关关系，求 关于 的回归直线方程。 【解析】(1)画散点图如下：由右图可知 与 具有线性相关关系； (2)列表、计算： ， ， ， ， 。 ， ， 即所求的回归直线方程为： 。 四、古典概型 例4-1．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号为 、 、 ；蓝色卡片两张，标号为 、 。 (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 的概率； (2)向袋中再放入一张标号为 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标点之和小于 的概率。 【解析】(1)标号为 、 、 的三张红色卡片分别记为 、 、 ， 标号为 、 的两张蓝色卡片分别记为 、 ， 从五张卡