第5讲等式与不等式的性质（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第5讲 等式与不等式的性质 【知识梳理】 1．等式的性质 2.方程的解集 含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 3.一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． 4．一元二次方程根与系数的关系 5、不等式的性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 【例题解析】 知识点一：等式的性质与方程的解集 例1．（2020·全国高一课时练习）已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是（ ） A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1 C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay 【答案】A 【分析】根据等式的性质可判断. 【详解】A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意； B.∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意； C.∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意； D.∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意. 故选：A. 【点睛】本题考查等式的性质，属于基础题. 例2．（2020·全国高一课时练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据先去括号，然后合并同类项的原则即可求解. 【详解】去括号合并同类项得：， 故A选项错误； 去括号合并同类项得：， 故B选项正确； 去括号合并同类项得：， 故C选项错误； 去括号合并同类项得：， 故D选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了整式的加减，属于基础题. 例3．（2020·辽宁高一期中）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上､下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可. 【详解】解：上、下禾每束为升，上禾束有，减损18，即， 下禾束之“实"相当，即，同理有， 所以方程组为. 故选：B. 例4．（2020·全国高一单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值是（ ） A．6 B．4 C．-4 D．-6 【答案】A 【分析】将代入方程，求出、即可求解. 【详解】把代入方程组得： 解得： ∴ 故选：A. 例5．（2020·全国高一课时练习）规定一种运算：.例如：，运算得，解得.按照这种运算的规定，那么时，的值为________. 【答案】5或－1 【分析】根据规定的运算可得，从而可求出的值 【详解】解：由题意得， 即， 解得＝5或＝－1. 故答案为：5或－1 【点睛】此题考查对新运算的理解，属于基础 例6．（2020·上海高一专题练习）求下列方程的解集： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先将原方程化简整理，得到，即可求出结果； （2）先将原方程化简整理，得到，即可求出结果. 【详解】（1）由得， 移项整理得，解得； 所以该方程的解集为； （2）由去分母，得， 移项整理得， 解得； 所以该方程的解集为. 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，属于基础题型. 例7．（2020·上海高一专题练习）用因式分解法求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果； （2）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果； （3）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果. 【详解】（