第07讲 导数的概念和几何意义(提升训练)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第07讲 导数的概念和几何意义 【提升训练】 一、单选题 1．关于函数，下列判断错误的是（ ） A．函数的图象在处的切线方程为 B．是函数的一个极值点 C．当时， D．当时，不等式的解集为 【答案】B 【分析】 利用导数的几何意义可判断A选项的正误；利用导数与极值的关系可判断B选项的正误，利用导数与函数最值的关系可判断C选项的正误；利用导数研究函数的单调性，由此解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，，则，所以，，， 所以，函数的图象在处的切线方程为，即，A选项正确； 对于B选项，当时，对任意的，， 此时函数在上单调递增，无极值，B选项错误； 对于C选项，当时，，该函数的定义域为， . 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增. 所以，，C选项正确； 对于D选项，当时，，则对任意的恒成立， 所以，函数为上的增函数， 由可得，所以，， 解得，D选项正确. 故选：B. 【点睛】 思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 2．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（ ）(为自然对数的底) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 因为关于轴对称的函数为转化为与的图象有交点，即方程有解，对、、进行讨论可得答案. 【详解】 因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，时符合题意； 时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】 本题考查了函数图象交点的问题，解题的关键点是转化为与的图象有交点的问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及转化能力. 3．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D. 【点睛】 解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 4．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据导数的定义，结合题意得出，令，整理化简即可得到正确答案. 【详解】 ∵且， ∴，即. 令，得：， ∴，所以. 故选：C 5．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数求出点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】 因为点是曲线任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的的距离最小， 因为直线的斜率等于，曲线的导数， 令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点到直线的最小距离为. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点处的切线与直线平行，进而利用导数求解. 6．已知直线为曲线在处的切线，则在直线上方的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可. 【详解】 , , 又当时，， 所以切线的方程为, 对于A,当时，，故点在切线上； 对于B,当时，，故点在切线下方； 对于C,当时，，故点在切线上方； 对于D,当1时，,故点在切线下方. 故选：C. 【点睛】 本题考查曲线的切线方程的求法和点与直线的位置关系的判定，其中导数的运算是重点.点与直线的位置关系的