第06讲 函数的应用(考点讲解)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第06讲 函数的应用 【学习目标】 1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数． 2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 3、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 4、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 【备考指南】 1、函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大. 2、函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题. 【考点总结】 一、函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 【常用结论】 有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 二、函数模型及其应用 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 【常用结论】 1．“对勾”函数 形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减． (2)当x>0时，x＝时取最小值2， 当x<0时，x＝－时取最大值－2. 2．解决函数应用问题应注意的3个易误点 (1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错． (2)解应用题建模后一定要注意定义域． (3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案． 一、函数与方程 【考点解析】 【考点】一、函数零点所在区间的判断 例1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A．(0，1)　　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选B.因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，所以f(1)·f(2)＜0， 因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 例2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：选A.因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0， f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f