第05讲 指对幂函数运算与性质(考点讲解)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第05讲 指对幂函数运算与性质 【学习目标】 1、了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 2、理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，知道指数函数是重要的函数模型． 3、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 4、理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，知道对数函数是重要的函数模型． 5、了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1). 6、了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况. 【备考指南】 1、指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查． 2、指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查． 3、指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等． 4、对数式的化简与求值，考查对数的运算法则． 5、对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性，难度不大． 6、指数函数、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大. 7、幂函数的图象和性质，很少单独出题． 【考点总结】 一、指数与指数函数 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n>1)； ②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 二、对数与对数函数 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1) 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 续　表 a>1 0<a<1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 三、幂函数 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 【常用结论】 1．换底公式的三个重要结论 ①logab＝； ②logambn＝logab； ③logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大． 一、指数与指数函数 【考点解析】 【考点】一、指数幂的化简与求值 例1．化简·(a>0，