第04讲 一次函数与二次函数(考点讲解)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第04讲 一次函数与二次函数 【学习目标】 1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2、理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 【备考指南】 1、二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查． 2、二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查. 【考点总结】 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 【常用结论】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【考点解析】 【考点】一、二次函数的解析式 例1、 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】　法一：(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝. 所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8， 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1， 解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下： 　 【变式】1．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R.都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为____________． 解析：由f(0)＝3，得c＝3， 又f(1＋x)＝f(1－x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3. 答案：f(x)＝x2－2x＋3 【变式】2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________． 解析：设f(x)＝a＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40. 答案：f(x)＝－4x2－12x＋40 【考点】二、二次函数的图象与性质 角度一　二次函数的图象 例1、已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 【解析】　A项，因为a<0，－<0，所以b<0. 又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错． B项，因为a<0，－>0，所以b>0. 又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错． C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0， 所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错． D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D. 【答案】　D 角度二　二次函数的单调性 例2、函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a的取值范围是________． 【解析】　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件． 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝， 由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知 解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]． 【答案】　[－3，0] 【迁移探究】　(变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a为何值？ 解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间为[－