第03讲 函数及其性质（考点讲解+分层训练）-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第03讲 函数及其性质 【学习目标】 1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3、了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 4、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 5、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 6、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 【备考指南】 1、对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题．考查函数的值域及最值． 2、函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题． 3、函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强. 4、函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的取值范围. 5、对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般． 6、函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大. 【考点总结】 一、函数的概念及其表示 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域． 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． [注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 二、函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 三、函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【常用结论】 一、函数的概念及其表示 几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域