专题05 二元一次方程组及其应用-2020-2021学年七年级数学下学期期末考试备考提优复习（苏科版）

2020—2021学年初一数学下学期期末考试备考提优复习 05 二元一次方程组及其应用 【例题精讲】 一、二元一次方程（组）的相关概念 1．二元一次方程的定义 例1．下列方程中，属于二元一次方程的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 、是二元一次方程，故本选项符合题意； 、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意． 2．二元一次方程（组）的解 例2．已知是方程组的解，则的值为 A．4 B． C．0 D．不能确定 【答案】C 【解析】把代入方程组得：，解得：，， 则． 例3．下列各组数，既不是二元一次方程的解，又不是二元一次方程组的解的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，时，，故不符合题意； 、是二元一次方程组的解，故不符合题意； 、是的解，故不符合题意； 、既不是二元一次方程的解，又不是二元一次方程组的解，故符合题意． 例4．写出二元一次方程的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】当时，，． 故是方程的一个整数解； 当时，，．故是方程的一个整数解； … 由于二元一次方程有无数个整数解，所以答案不唯一． 二、二元一次方程（组）的解法 例1．若方程组的解满足，则的值为 A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】A 【解析】方程组两方程相加得：，即， 由，得到， 解得：． 例2．已知三元一次方程组，则 A．20 B．30 C．35 D．70 【答案】C 【解析】，①②③得：，则． 例3．关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于、的二元一次方程组的解为， 把关于，的二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组，， 关于，的二元一次方程组为． 例4．若实数，满足，则代数式的值为 ． 【答案】4 【解析】，①②，得：，，则原式． 例5．已知，且，那么 ． 【答案】3 【解析】，即①，且②， ①②得：，即， 把代入②得：，即，则． 例6．解方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】解：（1），①②得，，解得， 把代入①得，，解得，所以方程组的解是． （2）由方程②得，代入到方程①中得：， 解得，，所以方程组的解为． （3），由②得，③，由①③，得，解得， 把代入①，得，解得，原方程组的解为； （4），由①②，得，解得，把代入②、③，可得 ，解得，原方程组的解为． 三、方程组有关的新定义问题 例．定义一种新的运算：☆，例如：3☆，那么 （1）若☆，那么 ； （2）若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ． 【答案】12； 【解析】（1）☆，，解得； （2）☆，，， 则方程可以转化为，则， 当，取不同值时，方程都有一个公共解，，解得． 四、二元一次方程（组）在几何中的应用 例1．若二元一次方程组的解，的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则的值为 ． 【答案】2 【解析】，①②得：，将代入②得：， 根据与为三角形边长，得到，即， 若为腰，则有，即，解得：； 若为底，则有，解得：，不合题意，舍去， 若，都为腰，则有，解得：，三边为1.5，1.5，4，不能构成三角形，舍去，综上，的值为2． 例2．如图，甲圆与乙圆的面积之和是丙圆面积的，甲圆内阴影部分的面积占甲圆面积的，乙圆内阴影部分的面积占乙圆面积的，丙圆内阴影部分的面积占丙圆面积的，则甲、乙两圆面积的比为 ． 【答案】1：1 【解析】设甲圆的面积为，乙圆的面积为，丙圆的面积为，则甲圆内阴影部分的面积是，乙圆内阴影部分的面积是，丙圆内阴影部分的面积是， ，即①，，即②， 把②代入①得，，整理得， ，，所以甲、乙两圆面积的比为． 例3．用8张全等的小长方形纸片拼成了图①所示的大长方形，然后用这些纸片又拼成了图②所示的大正方形，但中间却多了一个面积为的小正方形的洞．求小长方形纸片的长与宽． 【解析】解：设每个长方形的长为，宽为， 那么可列出方程组为：，解得：． 答：每个长方形的长为，宽为． 五、二元一次方程（组）的实际应用 例1．已知甲、乙两人分别从，两地同时匀速出发，若相向而行，则经过分钟后两人相遇；若同向而行，则经过分钟后甲追上乙．若甲、乙的速度比为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设甲的速度为，则乙的速度为，设，两地相距，依题意有 ①