专题08 不等式选讲-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题8、不等式选讲 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 1.. 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集; （2）若 ，求a的取值范围． 【答案】（1） .（2） . 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集. （2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得 的取值范围. 【详解】（1）当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和， 则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ， 当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或 ， 所以 的解集为 . （2）依题意 ，即 恒成立， ， 当且仅当 时取等号， , 故 ， 所以 或 ， 解得 . 所以 的取值范围是 . 【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 2. 已知函数 ． （1）画出 和 的图像； （2）若 ，求a的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时 的值可求. 【详解】（1）可得 ，画出图像如下： ，画出函数图像如下： （2） ， 如图，在同一个坐标系里画出 图像， 是 平移了 个单位得到， 则要使 ，需将 向左平移，即 ， 当 过 时， ，解得 或 （舍去）， 则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， . 【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 【2020年】 3.（2020·新课标Ⅰ）已知函数 ． （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集． 【答案】（1）详解解析；（2） . 【解析】（1）因为 ，作出图象，如图所示： （2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示： 由 ，解得 ． 所以不等式的解集为 ． 4.（2020·新课标Ⅱ）已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求a的取值范围. 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】（1）当 时， . 当 时， ，解得： ； 当 时， ，无解； 当 时， ，解得： ； 综上所述： 的解集为 或 . （2） （当且仅当 时取等号）， ，解得： 或 ， 的取值范围为 . 5.（2020·新课标Ⅲ）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】（1） ， . 均不为 ，则 ， ； （2）不妨设 ， 由 可知， ， ， . 当且仅当 时，取等号， ，即 . 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 【2019年】 6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1） ； （2） ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）因为 ，又 ，故有 ． 所以 ． （2）因为 为正数且 ，故有 EMBED Equation.DSMT4 =24． 所以 ． 7．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知 （1）当 时，求不等式 的解集 （2）若 时， ，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）当a=1时， ． 当 时， ；当 时， ． 所以，不等式 的解集为 ． （2）因为 ，所以 ． 当 ， 时， ． 所以， 的取值范围是 ． 8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设 ，且 ． （1）求 的最小值； （2）若 成立，证明： 或 ． 【答案】（1） ；（2）见详解． 【解析】（1）由于 ， 故由已知得 ， 当且仅当x= ，y=– ， 时等号成立． 所以 的最小值为 ． （2）由于 ， 故由已知 ， 当且仅当 ， ， 时等号成立． 因此 的最小值为 ． 由题设知 ，解得 或 ． 【2018年】 9. （2018年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲] 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若时不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）． （2）． 【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立． 若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为．